Cómo probar $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{\ln{(1+n)}}<+\infty$

Question

Pregunta:

Definir la secuencia $\{a_{n}\}$ tal $$0<a_{n}<1,n\in N^{+}$$ tal $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{\ln{(a_{n})}}$$ es convergente.

Demostrar que $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{\ln{(1+n)}}<+\infty.$$

Mi idea:Utilizar $$\ln{(1+x)}>\dfrac{x}{1+x}$$

$$0<a_{n}<1$$ así que $$\dfrac{a_{n}}{\ln{(1+n)}}<\dfrac{(1+n)a_{n}}{n}$$ entonces no puedo continuar. Gracias.

Answer 1

Considere dos conjuntos: $A=\left\{n\in\mathbb{N}: a_n<\dfrac{1}{(n+1)^2}\right\}$ , $B=\left\{n\in\mathbb{N}: a_n\ge\dfrac{1}{(n+1)^2}\right\}$ .

Tenga en cuenta que si $n\in B$ entonces $$|\ln a_n|\le\ln (n+1)^2=2\ln(n+1),$$ $$\ln(n+1)\ge\dfrac{|\ln a_n|}{2}.$$ Entonces

$$ \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{\ln(1+n)} ~~ = ~~ \sum\limits_{n\in A} \dfrac{a_n}{\ln(1+n)} + \sum\limits_{n\in B} \dfrac{a_n}{\ln(1+n)} \\ \le \sum\limits_{n\in A} \dfrac{1}{(n+1)^2\ln(1+n)} + \sum\limits_{n\in B} \dfrac{2a_n}{|\ln a_n|} ~~ \le ~~ S_1 + 2S_2, $$ donde $$ S_1 = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(n+1)^2 \ln(n+1)} <\infty, $$ $$ S_2 = -\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{\ln a_n} < \infty. \quad (S_2\mbox{ is positive}). $$