$F_\sigma$ -los subconjuntos en un espacio normal pueden separarse

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio Hausdorff normal y sea $C,D$ ser dos $F_{\sigma}$ subconjuntos de $X$ tal que $\overline{C} \cap D = \emptyset$ y $C \cap \overline{D} = \emptyset$ .

Demostrar que existen subconjuntos abiertos disjuntos $U,V$ tal que $C \subset U$ y $D \subset V$ .

Ni idea de cómo mostrar esto. ¿Pueden ayudar?

Answer 1

Escribe $C = \bigcup_{n=1}^\infty C_n$ como la unión de un número contable de conjuntos cerrados $C_n$ . Desde $C_n \subset C$ no se cruza con $\overline D$ podemos encontrar un conjunto abierto $U_n\supset C_n$ , de tal manera que $\overline U_n \cap \overline D = \emptyset$ (por normalidad) para cada $n$ . Estos conjuntos $U_n$ forman una cubierta de $C$ .

Del mismo modo, podemos construir una cobertura abierta $\{V_n\}_{n\in \mathbb N}$ de $D$ de manera que los cierres de los $V_n$ no se cruzan $\overline C$ .

Uno tiene la tentación de elegir $U = \bigcup_n U_n$ y $V = \bigcup_n V_n$ pero estos conjuntos no tienen por qué ser disjuntos. Sin embargo, podemos utilizar el siguiente truco:

Definir $U'_n = U_n \setminus \bigcup_{i = 1}^n \overline V_n$ y $V_n' = V_n \setminus \bigcup_{i = 1}^n \overline U_n$ . Y ahora dejemos que $$U' = \bigcup_{n = 1}^\infty U'_n, \qquad V' = \bigcup_{n = 1}^\infty V_n'$$

Afirmo que estos conjuntos satisfacen

• $C \subset U'$ , $D \subset V'$
• $U'$ y $V'$ están abiertos
• $U' \cap V' = \emptyset$

La afirmación, creo, puedo dejarla a usted para que la verifique.

Answer 2

Quieres utilizar la misma técnica de "escalar una chimenea" que se utiliza para demostrar que todo espacio regular de Lindelöf es normal. (Quizá quieras dejar de leer aquí y echar un vistazo a esa prueba para ver si puedes adaptar la idea por tu cuenta).

Dejemos que $C = \bigcup \limits_{n \in \omega} C_n$ y $D = \bigcup \limits_{n \in \omega} D_n$ donde los conjuntos $C_n$ y $D_n$ están cerrados y para cada $n \in \omega$ $C_n \subseteq C_{n+1}$ y $D_n \subseteq D_{n+1}$ . Por normalidad existen conjuntos abiertos $V_0$ y $W_0$ tal que $C_0 \subseteq V_0 \subseteq \text{cl } V_0 \subseteq X \setminus D$ y $D_0 \subseteq W_0 \subseteq \text{cl } W_0 \subseteq X \setminus C$ . Dado $V_n$ y $W_n$ para algunos $n \in \omega$ , utilizar la normalidad para obtener conjuntos abiertos $V_{n+1}$ y $W_{n+1}$ tal que

(1) $C_{n+1} \cup \text{cl } V_n \subseteq V_{n+1} \subseteq \text{cl } V_{n+1} \subseteq X \setminus (\text{cl } D \cup \text{cl } W_n)$

y

(2) $D_{n+1} \cup \text{cl } W_n \subseteq W_{n+1} \subseteq \text{cl } W_{n+1} \subseteq X \setminus (\text{cl } C \cup \text{cl } V_n)$ .

Ahora dejemos que $V = \bigcup \limits_{n \in \omega} V_n$ y $W = \bigcup \limits_{n \in \omega} W_n$ son conjuntos abiertos disjuntos que contienen $C$ y $D$ respectivamente.

Answer 3

No es una respuesta completa.

Un $F_\sigma$ es una unión contable de conjuntos cerrados. Así que $C=\cup F_n$ Podemos suponer que $F_n \subset F_{n+1}$ o bien definir $F_n:=\cup_{k=1}^n F_k$ . Por lo tanto, podemos escribir $C=\bigcup C_n$ donde la secuencia $C_n$ de conjuntos cerrados es creciente. También podemos hacer lo mismo con $D$ : $D=\bigcup D_n$ con $D_n$ creciente.

Por las relaciones presentadas, tenemos que $\overline{D} \cap C_n=\emptyset$ por cada $n$ y entonces por regularidad podemos encontrar conjuntos abiertos $C_n \subset O_n,\ \overline{D} \subset K_n$ con $O_n \cap K_n=\emptyset$ . Escoge $O=\bigcup O_n$ . Entonces $O \cap \overline{D}=\emptyset$ y $C \subset O$ . Del mismo modo, encontramos un conjunto abierto $U$ con $D\subset U$ y $U \cap \overline{C}=\emptyset$ .

No sé cómo hacer $U,O$ desunión. Estaba pensando en definir $T=U\cap V$ y demostrar de alguna manera que $\overline{T} \cap C,D=\emptyset$ .