Vamos $a_i, b_i\in[p,q]$, $0<p<q$, $i=1,2,3,\dots n$ y $\sum_{i=1}^{n}a_i^2 = \sum_{i=1}^{n}b_i^2$. La siguiente declaración es válida:
El mínimo de la expresión
\begin{equation*}
C_{a,b}:=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_ib_i}{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} =
\begin{cases}
\frac{2pq}{p^2+q^2} & \text{if }n=2k,\\
&\\
\frac{(2k+1)pq}{(k+1)p^2+kq^2} & \text{if } n=2k+1.
\end{casos}
\end{ecuación*}
Nota: La siguiente respuesta es elemental enfoque basado en la $\mathbb{R^n}$ como espacio vectorial Euclídeo. Un argumento es heurística, por lo que es no completar la prueba. Pero espero que presentar las principales ideas de una manera adecuada, por lo que completa la prueba debe ser derivable. La respuesta se realiza en cuatro pasos:
Paso 1: interpretación Geométrica utilizando productos escalares en el Espacio Euclidiano $\mathbb{R}^n$ a observar, que minimiza la expresión es lo mismo que maximizar el ángulo entre los vectores de posición $a=(a_i)_{i=1}^{n}$ $b=(b_i)_{i=1}^{n}$.
Paso 2: Heurística argumento de que el ángulo se maximiza el fib específicas de los vértices del Hipercubo $H=[p,q]^n$ son alcanzados.
Paso 3: No todos los vértices son adecuados. Si $a$ $b$ tienen igual longitud, tienen el mismo número de $p$'s y el mismo número de $q$'s. Digamos $k$ $p$'s y $n-k$ $q$'s. Aquí nos muestran que la expresión de $C_{a,b}$ es mínima entre los pares, que tienen como pocos como sea posible coordenadas de $a$ $b$ con valores iguales. Así, por ejemplo, $C_{(p,p,p,q,q),(q,q,p,p,p)} \leq C_{(p,p,p,q,q),(p,q,p,p,q)}$
Paso 4: Nos muestran, que la expresión $C_{a,b}$ de vértices $a$ $b$ es mínima, si el número de $p$s'es igual al número de $q$'s $a,b$ en el caso de $n$ es regular y el número de $p$'s $1$ más que el número de $q$'s en $a,b$ en el caso de $n$ es impar.
Resultado: $C_{a,b}$ alcanza el mínimo en $\binom{2k}{k}$ vértices $a,b$ con el número de $p$'s igual al número de $q$'s y en $\binom{2k+1}{k}$ vértices con $a,b$ con el número de $p$'s $1$ más que el número de $q$'s en el caso de $n=2k+1$, con el porcentaje mínimo$C_{a,b}$como se indicó anteriormente.
Y ahora los detalles escabrosos:
Paso 1: interpretación Geométrica utilizando productos escalares en el Espacio Euclidiano $\mathbb{R}^n$
Vamos a considerar $a=(a_i)_{i=1}^{n}$, $b=(b_i)_{i=1}^{n}$ ser vectores en el espacio Euclidiano $\mathbb{R}^n$,$\sum_{1\leq i \leq n}a_i^2=\sum_{1\leq i \leq n}b_i^2$, es decir, $a$ $b$ tener la misma longitud $\Vert a \Vert=\Vert b \Vert$.
Deje $0<p<q$ $a,b \in [p,q]^n$
Tarea: Encontrar $a,b$, por lo que el $$C_{a,b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\rightarrow\text{min}$$
Observar que
$$C_{a,b}=\frac{<a,b>}{\Vert a\Vert^2}=\frac{\Vert b \Vert}{\Vert a \Vert}\cos (a,b)$$
Por eso, $C_{a,b}$ es el factor de escala de los vectores $a$ al $b$ se proyecta ortogonalmente a $a$. Esto implica:
$$b-C_{a,b}a=b-\frac{<a,b>}{\Vert a\Vert^2}a \perp a$$
Por lo tanto, tenemos que encontrar los $a,b$, de modo que el factor de escala se convierte en un mínimo. Puesto que el $\cos$ es monótonamente decreciente en $[0,\frac{\pi}{2}]$, esto es, si el ángulo entre el $a$ $b$ se convierte en una máxima.
Paso 2: $C_{a,b}$ alcanza un mínimo, si $a,b$ son específicas de los vértices del hipercubo $H=[p,q]^n$.
El siguiente argumento es sólo heurística, no una estricta prueba.
Consideremos $a,b$ dentro del hipercubo $H=[p,q]^n$. En este caso se puede considerar una línea que va a través de $a$ $b$ y el uso de los puntos de intersección con el rostro de $H$ conseguir $a^{\prime}$$b^{\prime}$. Desde el ángulo de $\measuredangle(a^{\prime},0,b^{\prime})$ es mayor que $\measuredangle(a,0,b)$ podemos sin pérdida de generalidad supongamos, que $a,b$ son los puntos en los rostros de $H$.
Luego consideraremos un avión pasando por $a^{\prime},0$$b^{\prime}$. Este avión se cruza con ciertos bordes de $H$ donde podemos encontrar a $a^{\prime\prime}$$b^{\prime\prime}$, por lo que el $\measuredangle(a^{\prime\prime},0,b^{\prime\prime})$ es mayor que $\measuredangle(a^{\prime},0,b^{\prime})$.
Argumentando su de la misma manera que ahora estamos caminando a lo largo de los bordes de $H$ hasta llegar a la adecuada vértices $a^{\prime\prime\prime}$$b^{\prime\prime\prime}$, por lo que el $\measuredangle(a^{\prime\prime\prime},0,b^{\prime\prime\prime})$ es mayor que $\measuredangle(a^{\prime\prime},0,b^{\prime\prime})$.
Así, podemos sin pérdida de generalidad supongamos que los puntos de $a,b$ tienen que ser los vértices del hipercubo $H$ a fin de que $C_{a,b}$ alcanza un mínimo.
$$$$
Paso 3: supongamos $a,b$ son vértices de $H$ con la misma longitud de $\Vert a\Vert=\Vert b\Vert$. Por lo tanto, tienen un número igual de $p$'s y un número igual de $q$'s como coordenadas. Para el $i$-ésima coordenada de la $a_i$ $b_i$ son iguales ($a_i=b_i=p$ o $a_i=b_i=q$) o pueden ser diferentes. Nos muestran, que $C_{a,b}$ alcanza un mínimo fib como pocos como sea posible coordenadas de $a$ $b$ tienen iguales valores de las coordenadas.
Por lo tanto, vamos a considerar para $1\leq i\leq j\leq n$, dos pares de $a_1,b_1$ $a_2,b_2$ cuales son coordinar sabio iguales salvo en el $i$-th y $j$-ésima posición. Tenemos $a_1=(\dots,p,\dots,q,\dots), b_1=(\dots,q,\dots,p,\dots)$ con coordenadas diferentes a las $i$-th y $j$-ésima posición y $a_2=(\dots,p,\dots,q,\dots), b_2=(\dots,p,\dots,q,\dots)$ de los vértices con la igualdad de coordenadas en el $i$-th y $j$-ésima posición.
Ahora $C_{(a_1,b_1)} < C_{(a_2,b_2)}$ es válido, porque esta desigualdad se simplifica a
\begin{align*}
C_{((\dots,p,\dots,q,\dots),(\dots,q,\dots,p,\dots))}&<C_{((\dots,p,\dots,q,\dots),(\dots,p,\dots,q,\dots))}\\
\frac{A+2pq}{B+p^2+q^2}&<\frac{A+p^2+q^2}{B+p^2+q^2}\\
0&<(p-q)^2
\end{align*}
con $A,B$ tomadas en consecuencia. Así, el mínimo de $C_{(a,b)}$ es alcanzada si $a,b$ tienen como pocos como sea posible la igualdad de coordenadas. En la siguiente podemos, por tanto, sin pérdida de generalidad supongamos, que $a,b$ son elegidos de esta manera.
Paso 4: Vamos a $a,$b los vértices del hipercubo $H=[p,q]^n$ de la misma longitud. Así, el número de $p$'s $a$ es igual al número de $p$'s $b$. Ahora, $C_{a,b}$ llega a ser mínimo, si el número de componentes de $a,b$ logro $p$ es igual al número de componentes de la consecución de $q$ en el caso de $n$ es incluso. En el caso de $n$ es impar, $a,b$ tiene que contener una $p$ más que el número de $q$'s.
Un argumento plausible para esta afirmación: El número de vértices con $k$ $p\text{'s}$ y $n-k$ $q\text{'s}$ es$\binom{n}{k}$, y dado que los coeficientes binomiales son un unimodal de la secuencia de alcanzar su máximo en $n/2$, se obtiene el mayor número de vértices del hipercubo de la misma longitud si el número de $p\text{'s}$ es la mitad del $n$. En este caso tenemos la mayor difusión y por lo tanto la mejor oportunidad para maximizar el ángulo de $\measuredangle(a,b)$. En caso de $n=2k+1$ impar, tenemos, además, para analizar si se alcanza el ángulo máximo con $k+1$ $p\text{'s}$ y $k\ q\text{'s}$ o con $k\ p\text{'s}$ $k+1\ q\text{'s}$
Para motivar a los siguientes cálculos considerar en primer lugar los ejemplos $n=5$$n=6$, para los pares y los impares $n$.
$n=5$: Aquí tenemos en cuenta las siguientes variantes de $a$ $b$ y el uso de $t:=\frac{p}{q}$$0 < t < 1$.
\begin{align*}
C_{a,b}&=C_{(p,p,p,p,q),(q,p,p,p,p)}=\frac{3p^2+2pq}{4p^2+q^2}=\frac{3t^2+2t}{4t^2+1}\qquad&4\ p\text{'s}\\
C_{a,b}&=C_{(p,p,p,q,q),(q,q,p,p,p)}=\frac{p^2+4pq}{3p^2+2q^2}=\frac{t^2+4t}{3t^2+2}\qquad&3\ p\text{'s}\\
C_{a,b}&=C_{(p,p,q,q,q),(q,q,q,p,p)}=\frac{4pq+q^2}{2p^2+3q^2}=\frac{4t+1}{2t^2+3}\qquad&2\ p\text{'s}\\
C_{a,b}&=C_{(p,q,q,q,q),(q,q,q,q,p)}=\frac{2pq+3q^2}{p^2+4q^2}=\frac{2t+3}{t^2+4}\qquad&1\ p\\
\end{align*}
$n=6$:
\begin{align*}
C_{a,b}&=C_{(p,p,p,p,p,q),(q,p,p,p,p,p)}=\frac{4p^2+2pq}{5p^2+q^2}=\frac{4t^2+2t}{5t^2+1}\qquad&5\ p\text{'s}\\
C_{a,b}&=C_{(p,p,p,p,q,q),(q,q,p,p,p,p)}=\frac{2p^2+4pq}{4p^2+2q^2}=\frac{2t^2+4t}{4t^2+2}\qquad&4\ p\text{'s}\\
C_{a,b}&=C_{(p,p,p,q,q,q),(q,q,q,p,p,p)}=\frac{6pq}{3p^2+3q^2}=\frac{6t}{3t^2+3}\qquad&3\ p\text{'s}\\
C_{a,b}&=C_{(p,p,q,q,q,q),(q,q,q,q,p,p)}=\frac{4pq+2q^2}{2p^2+4q^2}=\frac{4t+2}{2t^2+4}\qquad&2 p\text{'s}\\
C_{a,b}&=C_{(p,q,q,q,q,q),(q,q,q,q,q,p)}=\frac{2pq+4q^2}{p^2+5q^2}=\frac{2t+4}{t^2+5}\qquad&1 p\\
\end{align*}
Usted puede observar, que utilizamos no todas las variantes posibles, pero sólo aquellos, donde $a_i$ $b_i$ obtienen valores diferentes en el mismo índice de posición siempre que sea posible, de acuerdo con el resultado del Paso 3.
Ahora tenemos que dividir el par y el impar caso de nuevo, en una mitad izquierda (el de la negativa unimodal secuencia $C_{a,b}$) y una mitad derecha. Por lo que puede mostrar, que el mínimo está en el medio de la secuencia bajo consideración.
Ahora, cuando se mira en los ejemplos anteriores, las siguientes fórmulas deben ser razonables:
Deje $n=2k$. Consideramos que las secuencias
\begin{align*}
A_k(l)&:=\frac{(2k-2l)t^2+2lt}{(2k-l)t^2+l}\qquad&1\leq l \leq k\\
B_k(l)&:=\frac{(2k-2l)+2lt}{(2k-l)+lt^2}\qquad&1\leq l \leq k
\end{align*}
Por favor, tenga en cuenta, que $A_k(l)$ corresponde a la mitad izquierda de la ejemplo, $n=6$ por encima y que $B_k(l)$ corresponde a la mitad derecha. Además se puede observar que la $A_k(k)=B_k(k)$.
La siguiente declaración es válida:
\begin{align*}
A_k(l+1)<A_k(l)\\
\end{align*}
debido a que el correspondiente a la desigualdad
\begin{align*}
\frac{(k-l-1)t^2+(l+1)t}{(2k-l-1)t^2+(l+1)}< \frac{(k-l)t^2+lt}{(2k-l)t^2+l}\qquad\qquad1\leq l \leq k\\
\end{align*}
se simplifica a $0<(t-1)^2$.
De igual manera nos puede mostrar, que para $1\leq l \leq k$
\begin{align*}
B_k(l+1)&<B_k(l)\\
\end{align*}
debido a la desigualdad
\begin{align*}
\frac{(k-l-1)+(l+1)t}{(2k-l-1)+(l+1)t^2} &< \frac{(k-l)+lt}{(2k-l)+lt^2}\qquad\qquad1\leq l \leq k\\
\end{align*}
también se simplifica a $0<(t-1)^2$.
El caso de $n=2k+1$ se puede hacer de forma análoga. Se puede demostrar, que para
\begin{align*}
C_k(l)&:=\frac{(2k-2l+1)t^2+2lt}{(2k-l+1)t^2+l}\qquad&1\leq l \leq k\\
D_k(l)&:=\frac{(2k-2l+1)+2lt}{(2k-l+1)+lt^2}\qquad&1\leq l \leq k\\
\\
C_k(l+1) &< C_k(l)\qquad\text{and}\qquad D_k(l+1) < D_k(l)&
\end{align*}
Una diferencia notable en el caso de $n$ aun es, que
$$C_k(k) = \frac{t^2+2kt}{(k+1)t^2+k} \ne \frac{1+2kt}{(k+1)+kt^2} = D_k(k)$$
Esto corresponde al hecho de que, en caso de $C_k(k)$ $a$ y $b$ contienen $k+1$ $p'$s y $k$ $q$'s, mientras que $D_k(k)$ implica que el $a$ $b$ contienen $k$ $p$'s y $k+1$ $q$'s.
Ahora, se puede demostrar fácilmente, que $C_k(k) < D_k(k)$ nuevo mediante la simplificación de la correspondiente desigualdad $\frac{t^2+2kt}{(k+1)t^2+k} < \frac{1+2kt}{(k+1)+kt^2}$$0<(t-1)^2$.
Por último, la conclusión es:
El mínimo de $C_{a,b}$ es alcanzado en el caso de $n=2k$ $\binom{2k}{k}$ vértices de $H$, $k$ coordenadas de igual a $p$ $k$ coordenadas de igual a $q$, por $a$ $b$ tienen diferentes valores de coordenadas de $p$ $q$ en cada posición de índice. En el caso de la extraña $n=2k+1$ el mínimo de $C_{a,b}$ es alcanzado por $\binom{2k+1}{k}$ vértices de $H$, $k+1$ coordenadas de igual a $p$ $k$ coordenadas de igual a $q$, de nuevo $a$ $b$ tener diferentes valores de las coordenadas en la misma posición de índice, siempre que sea posible. Para estos vértices $C_{a,b}$ alcanza los valores:
\begin{equation*}
C_{a,b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_ib_i}{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} =
\begin{cases}
\frac{2pq}{p^2+q^2} & \text{if }n=2k,\\
&\\
\frac{(2k+1)pq}{(k+1)p^2+kq^2} & \text{if } n=2k+1.
\end{casos}
\end{ecuación*}
