Supongamos que $X$ y $Y$ son distribuciones uniformes independientes entre $(0,1)$ . ¿Cuál es la distribución de $X^2 + Y^2$ ?
He deducido que el pdf de $X^2$ es $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ para $0\leq x \leq 1$ . ¿Cómo puedo continuar desde aquí?
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Set $Z=X^2+Y^2$ . Desde $X$ y $Y$ son variables aleatorias continuas e independientes, $$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^\infty f_{X^2}(x)f_{Y^2}(z-x)\mathrm dx. $$ Observe que $f_{X^2}(x)f_{Y^2}(z-x)=0$ si $x\not\in[\max\{0,z-1\},\min\{1,z\}]$ . Así que tenemos que $$ f_Z(z)= \begin{cases} \int_0^zf_{X^2}(x)f_{Y^2}(z-x)\mathrm dx&\text{if }0\le z\le1,\\ \int_{z-1}^1f_{X^2}(x)f_{Y^2}(z-x)\mathrm dx&\text{if }1\le z\le2. \end{cases} $$ Ahora $$ \frac14\int_0^z\frac1{\sqrt{x(z-x)}}\mathrm dx=\frac\pi4 $$ y $$ \frac14\int_{z-1}^1\frac1{\sqrt{x(z-x)}}\mathrm dx=\frac12\arctan\biggl(\frac1{\sqrt{z-1}}\biggr)-\frac12\arctan(\sqrt{z-1}) $$ desde $$ \biggl(2\arctan\biggl(\frac{\sqrt x}{\sqrt{z-x}}\biggr)\biggr)'=\frac{1}{\sqrt{x(z-x)}} $$ (He utilizado Calculadora integral para encontrar esta antiderivada).
user3035
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Tunk-Fey
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Tenemos $$ f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)=1\quad;\text{ for }0\le x\le1,\ 0\le y\le1 $$ Dejemos que $U=X^2+Y^2$ y $V=X^2$ entonces $Y=\sqrt{U-V}$ y $X=\sqrt{V}$ . El jacobiano es $\dfrac{1}{4\sqrt{v(u-v)}}$ . El correspondiente regiones son $\text{R : }0\le\sqrt{v}\le1$ y $0\le\sqrt{u-v}\le1$ . El pdf conjunto de $\ U$ y $V$ es $$ f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(x,y)\cdot|J|=\dfrac{1}{4\sqrt{v(u-v)}} $$ y el pdf marginal de $U$ es $$ f_U(u)=\int_R f_{U,V}(u,v)\ dv=\left\{ \begin{array}{l l} \dfrac14\int_{v=0}^u \dfrac{1}{\sqrt{v(u-v)}}\ dv&\quad;\text{ for }0\le u\le1\\ \\\\\\\\ \dfrac14\int_{v=u-1}^1 \dfrac{1}{\sqrt{v(u-v)}}\ dv&\quad;\text{ for }1\le u\le2. \end{array} \right. $$ Para evaluar la integral, escribe $$\dfrac{1}{\sqrt{v(u-v)}}=\frac1u\left(\dfrac{\sqrt{u-v}}{\sqrt{v}}+\dfrac{\sqrt{v}}{\sqrt{u-v}}\right)$$ y puede utilizar esta técnica .
