Suponga $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ es diferenciable y satisface $\forall x>0:f(f'(x))=-f(x)$. ¿Qué es $f(x)$?
Sé que $f(x)=\ln x$ es una solución, pero no sé si hay otro, o cómo puedo probar que.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Parece que el siguiente.
Diferenciar las dos partes de la ecuación:
$$f'(f'(x))f''(x)=-f'(x).$$
A continuación, $$f'(f'(x))=-\frac{f'(x)}{ f''(x)}.$$
Tome $f$ de ambas partes:
$$f(x)=-f(f'(x))=f(f'(f'(x)))=f\left(-\frac{f'(x)}{ f''(x)}\right).$$
Ya que la función $f$ es inyectiva,
$$x=-\frac{f'(x)}{ f''(x)}.$$
Esta es una ecuación diferencial. Resolverlo
$$xf''(x)+f'(x)=0$$
$$\bigl(xf'(x)\bigr)'=0$$
$$xf'(x)=C_{1}$$
$$f(x)=C_{1}\ln x+C_{2}$$ La verificación:
$$f(f'(x))=C_1\ln\left(\frac {C_1}x\right)+C_2=-(C_1\ln (x)+C_2).$$
Por lo $C_2=-\frac{C_1\ln C_1}2$ y
$$f(x)=\frac{\ln Kx}{K^2}.$$
PS. En general, no podemos a priori suponen que $f$ es dos veces diferenciable. Por ejemplo, considere una situación similar. Deje $g:\Bbb R\to\Bbb R$ ser una función tal que $g(x)=x^2$ si $x\ge 0$ $g(x)=-x^2$ si $x< 0$. Entonces $g'(x)=|x|$, $g(g'(x))=x^2$ es una función derivable, sino $g''(0)$ no existe. Así que una pregunta queda abierta para una no dos veces derivable la función $f$.
