Tomé prestada la idea de la prueba de Bourbaki del teorema de Krull-Akizuki.
Definición Sea $A$ sea un anillo no necesariamente conmutativo. Sea $M$ ser una izquierda $A$ -módulo. Supongamos que $M$ tiene una serie de composición, las longitudes de cada serie son iguales por el teorema de Jordan-Hoelder. La denotamos por $leng_A M$ . Si $M$ no tiene una serie de composición, definimos $leng_A M = \infty$ .
Lema 1 Sea $A = k[X]$ sea un anillo polinómico de una variable sobre un campo $k$ . Sea $f$ sea un elemento distinto de cero de $A$ . Entonces $A/fA$ es un finito $k$ -módulo.
Prueba: Despejado.
Lema 2 Sea $A = k[X]$ sea un anillo polinómico de una variable sobre un campo $k$ . Sea $M$ sea una torsión $A$ -de tipo finito. Entonces $M$ es un finito $k$ -módulo.
Prueba: Sea $x_1, ..., x_n$ sean elementos generadores de $M$ . Existe un elemento distinto de cero $f$ de $A$ tal que $fx_i = 0$ , $i = 1, ..., n$ . Sea $\psi:A^n \rightarrow M$ sea el morfismo definido por $\psi(e_i) = x_i$ , $i = 1, ..., n$ , donde $e_1, ..., e_n$ es la base canónica de $A^n$ . Por el Lemma 1, $A^n/fA^n$ es un finito $k$ -módulo. Dado que $\psi$ induce un mofismo suryectivo $A^n/fA^n \rightarrow M$ , $M$ es un finito $k$ -módulo. QED
Lema 3 Sea $A = k[X]$ sea un anillo polinómico de una variable sobre un campo $k$ . Sea $M$ ser un $A$ -módulo. Entonces $length_A M < \infty$ sólo si $M$ es un finito $k$ -módulo.
Prueba: Supongamos $length_A M < \infty$ . Sea $M = M_0 \supset M_1 \supset ... \supset M_n = 0$ sea una serie de composición. Cada $M_i/M_{i+1}$ es isomorfo a $A/f_iA$ donde $f_i$ es un polinomio irreducible en $A$ . Desde $dim_k A/f_iA$ es finito por el lema 1, $dim_k M$ es finito.
Lo contrario está claro. QED
Lema 4 Sea $A$ sea un anillo no necesariamente conmutativo. Sea $M$ ser una izquierda $A$ -módulo. Sea $(M_i)_I$ sea una familia de $A$ -submódulos de $M$ indexado sea un conjunto $I$ . Supongamos que $(M_i)_I$ cumple la siguiente condición.
$M = \cup_i M_i$ y para cualquier $i, j \in I$ existe $k \in I$ tal que $M_i \subset M_k$ y $M_j \subset M_k$ .
Entonces $leng_A M = sup_i leng_A M_i$ .
Prueba: Supongamos $sup_i leng_A M_i = \infty$ . Desde $sup_i leng_A M_i \leq leng_A M$ , $leng_A M = \infty$ . Por lo tanto, podemos suponer que $sup_i leng_A M_i = n < \infty$ . Sea $n = leng_A M_{i_0}$ . Para cada $i \in I$ existe $k \in I$ tal que $M_{i_0} \subset M_k$ y $M_i \subset M_k$ . Desde $leng_A M_k = n$ , $M_{i_0} = M_k$ , $M_i \subset M_{i_0}$ . Desde $M = \cup_i M_i$ , $M = M_{i_0}$ . Por lo tanto $leng_A M = n$ . QED
Lema 5 Sea $A = k[X]$ sea un anillo polinómico de una variable sobre un campo $k$ . Sea $K$ sea el campo de fracciones de $A$ . Sea $M$ sea un $A$ -de tipo finito. Sea $r = dim_K M \otimes_A K$ Sea $f$ sea un elemento distinto de cero de $A$ . Entonces $leng_A M/fM \leq r(leng_A A/fA)$
Prueba: Existe un $A$ -submódulo $L$ de $M$ tal que $L$ es isomorfo a $A^r$ y $Q = M/L$ es un módulo de torsión de tipo finito sobre $A$ . Por lo tanto, por el Lemma 2, $Q$ es un finito $k$ -módulo. El núcleo de $M/f^nM \rightarrow Q/f^nQ$ es $(L + f^nM)/f^nM$ que es isomorfo a $L/(f^nM \cap L)$ . Desde $f^nL \subset f^nM \cap L$ , $leng_A M/f^nM \leq leng_A L/f^nL + leng_A Q/f^nQ \leq leng_A L/f^nL + leng_A Q$ . Desde $M$ no tiene torsión, $f$ induce un isomorfismo $M/fM \rightarrow fM/f^2M$ . Por lo tanto $leng_A M/f^nM = n(leng_A M/fM)$ . Del mismo modo $leng_A L/f^nL = n(leng_A L/fL)$ . Por lo tanto $leng_A M/fM \leq leng_A L/fL + (1/n) leng_A Q$ . Desde $L$ es isomorfo a $A^r$ , $leng_A L/fL = r(leng_A A/fA)$ . Por lo tanto $leng_A M/fM \leq r(Leng_A A/fA)$ . QED
Lema 6 Sea $A = k[X]$ el anillo polinómico de una variable sobre un campo $k$ . Sea $K$ sea el campo de fracciones de $A$ . Sea $M$ sea un $A$ -módulo. Supongamos que $r = dim_K M \otimes_A K$ es finito. Sea $f$ sea un elemento distinto de cero de $A$ . Entonces $leng_A M/fM \leq r(Leng_A A/fA)$
Prueba: Sea $(M_i)_I$ sea la familia de $A$ -submódulos de $M$ . $M/fM = \cup_i (M_i + fM)/fM =\cup_i M_i/(M_i \cap fM)$ . Desde $fM_i \subset M_i \cap fM$ , $M_i/(M_i \cap fM)$ es isomorfo a un cociente de $M_i/fM_i$ . Por lo tanto, por el Lemma 5, $leng_A M_i/(M_i \cap fM) \leq r(leng_A A/fA)$ . Por lo tanto, por el Lemma 4, $leng_A M/fM \leq r(leng_A A/fA)$ QED
Lema 7 Sea $A = k[X]$ sea un anillo polinómico de una variable sobre un campo $k$ . Sea $K$ sea el campo de fracciones de $A$ . Sea $L$ sea un campo de extensión finito de $K$ . Sea $B$ sea un subring de $L$ que contiene $A$ . Entonces $B/fB$ es un finito $k$ -para cada elemento distinto de cero $f \in B$ .
Prueba: Dado que $L$ es una extensión finita de $K$ , $a_rf^r + ... + a_1f + a_0 = 0$ donde $a_i \in A, a_0 \neq 0$ . Entonces $a_0 \in fB$ . Desde $B \otimes_A K \subset L$ , $dim_K B \otimes_A K \leq [L : K]$ . Por lo tanto, por el Lemma 6, $leng_A B/a_0B$ es finito. Por lo tanto $leng_A B/fB$ es finito. Por lo tanto, por el Lemma 3, la afirmación se sigue. QED
Lema 8 Sea $A$ sea un dominio integralmente cerrado que contiene un campo $k$ como un subring. Supongamos que $A/fA$ es un finito $k$ -para cada elemento distinto de cero $f \in A$ . Sea $S$ sea un subconjunto multiplicativo de $A$ . Sea $A_S$ sea la localización con respecto a $S$ . Entonces $A_S$ es un dominio integralmente cerrado que contiene un campo $k$ como un subring y $A_S/fA_S$ es un finito $k$ -para cada elemento distinto de cero $f \in A_S$ .
Prueba: Sea $K$ sea el campo de fracciones de $A$ . Supongamos que $x \in K$ es integral sobre $A_S$ . $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$ donde $a_i \in A_S$ . Por lo tanto, existe $s \in S$ tal que $sx$ es integral sobre $A$ . Desde $A$ es integralmente cerrado, $sx \in A$ . Por lo tanto $x \in A_S$ . Por lo tanto $A_S$ es integralmente cerrado.
Sea $f$ sea un elemento distinto de cero de $A_S$ . $f = a/s$ donde $a \in A, s \in S$ . Entonces $fA_S = aA_S$ . Por este , $aA$ es un producto de ideales primos de $A$ . Sea $P$ sea un ideal primo distinto de cero $P$ de $A$ . Desde $P$ es máxima, $A_S/P^nA_S$ es isomorfo a $A/P^n$ o $0$ . Por lo tanto $A_S/aA_S$ es un finito $k$ -módulo. QED
Lema 9 Sea $A$ sea un dominio integralmente cerrado que contiene un campo $k$ como un subring. Supongamos que $A/fA$ es un finito $k$ -para cada elemento distinto de cero $f \in A$ . Sea $P$ sea un ideal primo no nulo de $A$ . Entonces $A_P$ es un anillo de valoración discreto.
Prueba: Por el Lemma 8 y este todo ideal no nulo de $A_P$ tiene una factorización única como producto de ideales primos. Por lo tanto $PA_P \neq P^2A_p$ . Sea $x \in PA_P - P^2A_P$ . Desde $A_P$ es el único ideal primo no nulo de $A_P$ , $xA = PA_P$ . Dado que todo ideal distinto de cero de $A_P$ se puede escribir $P^nA_P$ , $A_P$ es un dominio ideal principal. Por lo tanto $A_P$ es un anillo de valoración discreto. QED
Teorema Sea $k$ sea un campo. Sea $K$ sea un campo de extensión finitamente generado de $k$ de trascendencia grado uno. Sea $A$ sea un subring de $K$ que contiene $k$ . Sea $P$ sea un ideal primo de $A$ . Entonces existe un anillo de valoración $R$ de $K$ dominante $A_P$ .
Prueba: Podemos suponer que $A$ contiene un elemento trascendental $x$ en $k$ (de lo contrario, el teorema sería trivial). También podemos suponer que $P \neq 0$ .
Sea $B$ sea el cierre integral de $A$ en $K$ . Por el Lemma 7, $B/fB$ es un finito $k$ -para cada elemento distinto de cero $f \in B$ . Sea $S = A - P$ . Sea $B_P$ y $A_P$ sean las localizaciones de $B$ y $A$ con respecto a $S$ respectivamente. Sea $y \in P$ sea un elemento no zer. Por el Lemma 8, $B_P/yB_P$ es un módulo k finito. Dado que $yB_P \subset PB_P$ y $PB_P \neq B_P$ , $yB_P \neq B_P$ . Por lo tanto, existe un ideal maximal $Q$ de $B_P$ que contiene $y$ . Desde $B_P$ es integral sobre $A_P$ y $PA_P$ es un único ideal maximal de $A_P$ , $P = Q \cap A_P$ . Sea $Q' = Q \cap B$ . Entonces $Q'$ es un ideal primo de $B$ tumbado $P$ . Por el Lemma 9, $B_Q'$ es un anillo de valoración discreto y domina a $A_P$ . QED
