Se puede explicar la ordenación de los dos tiempos medios de primer golpe como sigue.
La aparición de una palabra puede modelarse a través de la secuencia de las longitudes de los prefijos más largos de esta palabra alcanzados en cada momento. Si la palabra a alcanzar es U=HHHH entonces la palabra W=HTTHTHHTTTTH de su ejemplo da como resultado la secuencia $(0,1,0,0,1,0,1,2,0,0,0,0,1)$ . Si la palabra a alcanzar es V=HTHT entonces W se obtiene la secuencia $(0,1,2,0,1,2,3,1,2,0,0,0,1)$ .
En ambos casos la secuencia resultante es una cadena de Markov en el espacio de estados $\{0,1,2,3,4\}$ y se pregunta por el tiempo medio de llegada del estado $4$ a partir del estado $0$ . Las probabilidades de transición de las transiciones válidas son todas $\frac12$ . Las transiciones válidas en ambos modelos son $0\to0$ , $0\to1$ , $1\to2$ , $2\to0$ , $2\to3$ y $3\to4$ . Las transiciones válidas en el modelo U sólo son $1\to0$ y $3\to0$ . Las transiciones válidas en el modelo V sólo son $1\to1$ y $3\to1$ .
Se pueden acoplar las dos cadenas de Markov de forma que ambas realicen los pasos $n\to n+1$ simultáneamente. Entonces, la posición del V cadena de Markov es al menos tan alta como la posición del U cadena de Markov al mismo tiempo. Por lo tanto, el V la cadena llega a $4$ antes, mientras tanto.
Advertencia: este acoplamiento no significa que el V secuencia de una palabra dada es siempre al menos tan alta como la U secuencia, sólo que se pueden encontrar dos procesos $(U_n)_n$ y $(V_n)_n$ tal que $(U_n)_n$ se distribuye como la secuencia de las longitudes de los prefijos de U , $(V_n)_n$ se distribuye como la secuencia de las longitudes de los prefijos de V y $U_n\geqslant V_n$ casi con toda seguridad, para cada $n$ .
Una consecuencia de esta construcción simultánea de los tiempos de golpeo $T_U$ y $T_V$ es que, para cada $t$ , $\mathrm P(T_U\geqslant t)\leqslant\mathrm P(T_V\geqslant t)$ . Por lo tanto, $\mathrm E(T_V^k)\geqslant\mathrm E(T_U^k)$ para cada no negativo $k$ y, en general, $\mathrm E(a(T_V))\geqslant\mathrm E(a(T_U))$ para todo lo que no sea decreciente $a$ .
