Estoy teniendo serios problemas para entender la definición de tensor de productos de Kostrikin del Álgebra Lineal y la Geometría. Hasta ahora he entendido un tensor como multilineal mapa de el producto cartesiano de a $k$ copias de un espacio vectorial $V$ a la base del campo de escalares. Sin embargo, me fue instruido para el estudio de la multilineal de la construcción de Kostrikin del libro, y realmente no estoy entendiendo lo que él está tratando de hacer.
Bueno, voy a publicar cómo se construye el producto tensor, y luego publicar mis dudas. Cualquier ayuda o referencia es muy buena.
Construye el producto tensor en tres pasos:
- Deje $L_1,L_2\cdots L_p$ una familia de espacios vectoriales sobre el mismo campo de $\mathbb{K}$. Definir el conjunto $M$ de todas las funciones con finito de apoyo en $L_1\times L_2\times\cdots\times L_p$ y con valores en $\mathbb{K}$, en otras palabras, todas las funciones de este producto cartesiano a $\mathbb{K}$ que se desvanecen en todos, excepto un número finito de puntos del dominio. Una base consta de las funciones de $\delta(l_1, l_2 \dots l_p)$ $1$ en el punto de $(l_1, l_2 ...l_p)$ y cero en todas las demás. También se omite la $\delta$ símbolo, por lo que tenemos $$M=\left\{\sum a_{l_1\cdots l_p}(l_1,l_2\cdots l_p) \mid a_{l_1\cdots l_p} \in \mathbb{K} \right\}$$
- Consideremos el subespacio $M_0$ generado por los vectores en $M$ de la forma: $$(l_1\cdots l'_j+l''_j\cdots l_p) - (l_1\cdots l'_j\cdots l_p) - (l_1\cdots l''_j\cdots l_p)$$ $$(l_1\cdots al_j\cdots l_p) - a(l_1\cdots l_j\cdots l_p) \quad \quad a\in \mathbb{K}$$
- El tensor de producto se define como $$L_1\otimes L_2 \otimes \cdots \otimes L_p = M / M_0$$ $$l_1\otimes l_2 \otimes \cdots \otimes l_p = (l_1, l_2\cdots l_p) + M_0$$ $$t: L_1 \times L_2 \times \cdots \times L_p \to L_1\otimes L_2 \otimes \cdots \otimes L_p, \quad t(l_1, l_2 \cdots l_p) = l_1 \otimes l_2 \otimes \cdots \otimes l_p$$
Bien, yo ya hice mi mejor esfuerzo para entender esta definición, pero simplemente no puede obtener. Primero, dice que esta definición se realiza a ser capaz de construir algunos universal multilienear aplicación. Eso está bien, pero ¿por qué esta definición nos permite esto? ¿Cuál es la intuición detrás de esta definición?
En segundo lugar, en el paso 1 se consideran las funciones que se desvanece en todos los puntos, excepto en un número finito. Bueno, ¿por qué estas funciones delta de formar una base ? No entiendo por qué, ya que me parece que para el uso de esos delta, necesitamos saber en qué puntos de las funciones no es cero.
Tercero, ¿por qué considerar que el subespacio $M_0$ ? Yo simplemente no puede comprender lo que es la razón de este.
Y, finalmente, la cuarta: ¿por qué establecer el producto tensor como el cociente del espacio ?
Realmente pensé mucho ya en esta definición, tratando salió con algo, sin embargo, yo no podía tener ninguna idea. Alguien puede dar alguna ayuda?
Gracias de antemano, y realmente lo siento si esta pregunta es demasiado larga, demasiado específicas o demasiado tonto. Estoy muy confundido con esta definición.
