Principio Del Palomar De La Aplicación

Question

Supongo que esto es un Principio del Palomar de la aplicación. He intentado dividir el cubo de diversas maneras, pero no consiguió nada. Tal vez hay otro enfoque.

En un cubo de lado de longitud $9$ hay $1981$ puntos. Probar que existen dos de ellos situados a una distancia en la mayoría de las $1$ unos de otros.

Answer 1

Suponga $n$ puntos en el cubo son cada una a una distancia de al menos $1$ de la de los demás. A continuación, las bolas de radio $\frac12$ centrado en estos puntos son distintos. Su volumen total es de $n$ veces el volumen de $\frac43\pi\left(\frac12\right)^3=\frac16\pi$ de una bola de radio $\frac12$. En el otro lado de cada punto en una de estas bolas es a distancia en la mayoría de las $\frac12$ desde el cubo de lado a $9$, en particular, todas las bolas están incluidos en un cubo de lado a $10$. Por lo tanto $\frac16\pi n\leqslant 10^3$, $n\leqslant1909$.

Answer 2

Si existiera dicha configuración con todas las distancias $>1$ se podría colocar 1981 bolas de radio ${1\over2}$ en un cubo de $Q$ de los laterales de longitud y 10 (mover todas las caras del cubo ${1\over2}$ hacia el exterior). Pero estas bolas tienen un volumen total de $1037.24\ldots\ $.

De hecho, el número de $1981$ puede ser mejorado a $1415$: Si hay $N$ puntos con el alejamiento mutuo $>1$ $9^3$- cubo, $N$ bolas de radio ${1\over2}$ $10^3$- cube $Q$. Estas bolas de consumir la fracción $$\delta={N\cdot{\pi\over6}\over 1000}$$ de ${\rm vol}(Q)$. Repitiendo esta configuración periódicamente se obtiene una esfera de embalaje de espacio con esta densidad; por lo tanto, por Hales teorema uno tiene $$\delta\leq{\pi\over 3\sqrt{2}}$$ o $N\leq1000\sqrt{2}\doteq1414.2$. Esto implica que para $N\geq1415$ tal configuración es imposible.