Demostrando una estimación de Weyl

Question

Estoy trabajando a través de algunos problemas de Análisis de Fourier por Stein, Shakarchi y me quedé atrapado tratando de resolver el siguiente problema:

Deje $S_N = \sum_{n=1}^N e^{2\pi i f(n)}$. Mostrar que para $H\le N$, uno tiene

$$|S_N|^2 \le c \frac NH \sum_{h=0}^H\, \left|\,\sum_{n=1}^{N-h} e^{2\pi i(f(n+h)- f(n))} \right|$$ para algunas constantes $c>0$ independiente de $N$, $H$, y $f$.

Hay incluso una sugerencia: Deje $a_n = e^{2\pi if(n)}$ si $1\le n\le N$ $0$ lo contrario. A continuación, escriba $H\;\sum_n a_n = \sum_{h=1}^H \sum_n a_{n+h}$ y aplicar el Cauchy-Schwarz desigualdad.

Bueno, estoy realmente horrible en estas cosas, pero voy a escribir por lo menos un principio

$$\begin{align} |S_N|^2 &= \frac 1{H^2} \left| \sum_{h=1}^H \sum_n a_n \right|^2 \\ &\leq \frac1H \sum_{h=1}^H \left|\sum_n a_{n+h} \right|^2 \\ &= \frac1H \sum_{h=1}^H \sum_{n,m} a_{n+h}\overline{a_{m+h}} \end{align}$$

y después de esto yo ya lo tienes perdido. =( (Por supuesto, he scribbed abajo mucho más que este, pero todos conducen a ninguna parte, así que no voy a exponer a que...)

Realmente agradecería un poco de ayuda. Saludos!

Answer 1

He aquí una ruta a la solución. Traté de ser detallado con las sumas, por lo que los cálculos ser un poco desordenado. Por cierto, esta desigualdad es una forma de van der Corput la Desigualdad. Puedes ver más en Terry Tao del blog, pero la versión que él habla de que es un poco menos obviamente relacionadas.

Como para el cálculo, se han $$ HS_N=H\sum_na_n=\sum_{k=1}^H\sum_na_{n+k}=\sum_n\sum_{k=1}^Ha_{n+k}. $$ El interior de la suma se desvanece a excepción de $n$ en el rango $1-H\leq n\leq N-1$. Se sigue por la de Cauchy-Schwarz desigualdad que $$\begin{align*} H^2|S_N|^2 &= \left|\sum_n\sum_{k=1}^Ha_{n+k}\right|^2\leq (N+H-1)\sum_n\left|\sum_{k=1}^Ha_{n+k}\right|^2\\ &= (N+H-1)\sum_n\sum_{k=1}^H\sum_{j=1}^Ha_{n+k}\overline{a}_{n+j}\\ &= (N+H-1)\sum_{k=1}^H\sum_{j=1}^H\sum_na_{n+k}\overline{a}_{n+j}. \end{align*}$$ Para evaluar la suma, el grupo de los términos de $a_{n+k}\overline{a}_{n+j}$ por el valor de la diferencia en $k-j$ (he incluido un cálculo detallado a continuación en este caso no está claro a qué me refiero). En el extremo, usted encontrará que $$\begin{align*} \sum_{k=1}^H\sum_{j=1}^H\sum_na_{n+k}\overline{a}_{n+j} &= H\sum_n|a_n|^2+ 2\text{Re}\,\left(\sum_{h=1}^{H-1}(H-h)\sum_na_{n+h}\overline{a}_{n}\right)\\ &\leq 2\sum_{h=0}^{H-1}(H-h)\left|\sum_na_{n+h}\overline{a}_{n}\right|. \end{align*} $$ La combinación de todo lo que de aquí (he ajustado para reflejar @process91 del comentario), se obtiene $$ \begin{align*} |S_N|^2& \leq 2\left(\frac{N+H-1}{H}\right)\sum_{h=0}^{H-1}\left(1-\frac{h}{H}\right)\left|\sum_na_{n+h}\overline{a}_{n}\right|\\ &\leq 4\frac{N}{H}\sum_{h=0}^{H}\left|\sum_na_{n+h}\overline{a}_{n}\right|. \end{align*} $$ Ahora acaba de delimitar dicha suma, e inserte $e^{2\pi i(f(n+h)-f(n))}$ $a_{n+h}\overline{a}_n$ para obtener la desigualdad, el libro quiere.

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He aquí un detallado cálculo de la suma que he hecho referencia anteriormente. Escribir $$\begin{align*} \sum_{k=1}^H\sum_{j=1}^H\sum_na_{n+k}\overline{a}_{n+j} &= \sum_{1\leq j\leq k\leq H}\sum_na_{n+k}\overline{a}_{n+j}\\ &\qquad + \sum_{1\leq k<j\leq H}\sum_na_{n+k}\overline{a}_{n+j}, \end{align*} $$ y observar que $$ \begin{align*} \sum_{1\leq j\leq k\leq H}\sum_na_{n+k}\overline{a}_{n+j} &= \sum_{1\leq j\leq k\leq H}\sum_na_{n+k-j}\overline{a}_{n}\\ &= \sum_{0\leq k-j\leq H-j\leq H-1}\sum_na_{n+k-j}\overline{a}_n\\ &= \sum_{0\leq h\leq H-j\leq H-1}\sum_na_{n+h}\overline{a}_n\\ &= \sum_{h=0}^{H-1}\sum_{j=1}^{H-h}\sum_na_{n+h}\overline{a}_n\\ &= \sum_{h=0}^{H-1}(H-h)\sum_na_{n+h}\overline{a}_n. \end{align*} $$ Del mismo modo, $$ \begin{align*} \sum_{1\leq k<j\leq H}\sum_na_{n+k}\overline{a}_{n+j} &= \sum_{h=1}^{H-1}(H-h)\sum_na_n\overline{a}_{n+h}. \end{align*}$$ Por lo que se deduce que $$\begin{align*} \sum_{k=1}^H\sum_{j=1}^H\sum_na_{n+k}\overline{a}_{n+j} &= H\sum_n|a_n|^2+ 2\text{Re}\,\left(\sum_{h=1}^{H-1}(H-h)\sum_na_{n+h}\overline{a}_{n}\right). \end{align*}$$