Falta de "buenas cubiertas" en la topología étale

Question

Descargo de responsabilidad: Esta pregunta puede ser terriblemente ingenua y casi seguro que refleja mi propia ignorancia.

Si $X$ es un espacio topológico que admite una triangulación finita, entonces admite un "buen recubrimiento", es decir, un recubrimiento abierto por conjuntos contractibles $U_i$ tal que cualquier intersección finita de los $U_i$ 's también es contraíble. Para tal recubrimiento, la cohomología de Cech del recubrimiento con coeficientes en cualquier gajo constante coincide con la cohomología singular de $X$ con coeficientes en el grupo abeliano correspondiente (creo que tengo suficientes hipótesis para que esto funcione, y creo que uno puede arreglárselas con menos de una triangulación finita, pero dejadme que me ciña a eso).

Ahora dejemos que $\mathscr{X}$ sea un suave adecuado $\mathbf{C}$ -(esto es de nuevo probablemente exagerado, pero asegura que $X=\mathscr{X}(\mathbf{C})$ es un espacio topológico que satisface las condiciones del primer párrafo). Para un grupo abeliano finito $A$ entonces existe un isomorfismo canónico $H^i(\mathscr{X}_{et},\underline{A})\simeq H^i(X,A)$ , donde $\underline{A}$ es la gavilla constante de étale en $\mathscr{X}$ asociado a $A$ .

Pero, por lo que sé, en general no hay análogos de "buenas coberturas" para la topología étale. Es decir, no suele ser posible encontrar un solo la cobertura de la $X$ cuya cohomología de Cech con coeficientes en $\underline{A}$ calcula la cohomología de étale de $\mathscr{X}$ con coeficientes en $\underline{A}$ . En cambio, hay que tomar el colímite sobre un conjunto cofinal de recubrimientos étale a los primeros grupos de cohomología que coincidan. Existe una secuencia espectral para cualquier cobertura que converge a los grupos de cohomología reales de étale, pero el problema parece ser que no hay coberturas acíclicas de étale para gavillas constantes (finitas) (me gustaría que me informaran de que estoy equivocado).

Debería llegar a una pregunta ahora mismo. ¿Existe alguna razón conceptual para que estos dos grupos de cohomología, uno definido algebraicamente y el otro topológicamente, que coinciden, no sean susceptibles del mismo tipo de cálculo Cech (o simplicial), o para que no debamos esperar buenas coberturas (acíclicas) en la topología étale para gavillas constantes (finitas)? Por ejemplo, se podría demostrar algo sobre la cohomología étale trabajando con un buen recubrimiento de $X$ Y no habría necesariamente una prueba "puramente algebraica" trabajando sólo en el lado etéreo de las cosas (tengo algunos resultados particulares en mente, pero requeriría una gran digresión para describirlos, así que por ahora me los guardaré). Esto me parece psicológicamente desconcertante.

Debo mencionar que existe la teoría de las hipercoberturas, que no entiendo muy bien, pero que podría proporcionar un análogo computacional para la cohomología estal del tipo que estoy preguntando. También está la topología pro-etálica de Bhatt-Scholze, una teoría en la que hay "suficientes objetos contráctiles", pero los objetos afines contráctiles en esta topología son (ostensiblemente) espectros de anillos muy desconocidos (¡para mí!), y no creo (aunque, de nuevo, estaría encantado de que me aclararan un concepto erróneo aquí) que esta teoría proporcione una técnica computacional análoga a la que está disponible para la cohomología singular en el lado analítico complejo.

Answer 1

Descargo de responsabilidad: estoy lejos de ser un experto en esto. La moraleja de la historia de la cohomología de Cech es (por lo que yo entiendo) la siguiente. Sea $X$ sea un "espacio" y $F$ una gavilla en $X$ . El functor "tomar secciones globales" $(X,F)\mapsto \Gamma(X,F)$ no es exacta, por lo que debemos derivarla. Hay que pensar en $\Gamma(-,-)$ como un functor en dos variables, porque entonces parece claro que hay dos formas de derivarlo.

1. Podemos encontrar una resolución de la gavilla, $F\to I^\bullet$ y calcular $\Gamma(X,I^\bullet)$ .
2. Podemos encontrar una resolución del espacio , $U_\bullet \to X$ y calcular $\Gamma(U_\bullet,F)$ .

Por supuesto, ninguno de los dos es muy preciso por el momento. Con la primera quiero decir que podemos engrosar la categoría $\mathrm{Sh}(X)$ integrándola en la categoría de modelo $\mathrm{K}(X)$ (complejos modulares de homotopía), resolver $F$ en la categoría $\mathrm{K}(X)$ y pensar en $\Gamma(X,I^\bullet)$ como un objeto en $\mathrm{D}(\mathrm{Ab})$ la categoría derivada de los grupos abelianos.

¿Qué significa resolver el espacio $X$ ? Supongamos que tenemos una cubierta abierta $\mathcal U=\{U_i\to X\}$ . En la teoría de Cech, uno mira las colecciones $$ \mathcal U_n = \left\{U_{i_1}\times_X \cdots \times_X U_{i_n}\right\}_{i_1,\dots,i_n} . $$ Estos forman un espacio simplicial con aumento $\epsilon:\mathcal U_\bullet \to X$ . Así, $\Gamma(\mathcal U_\bullet,\epsilon^\ast F)$ es un grupo abeliano simplicial. Ahora bien, si estamos trabajando con espacios topológicos honestos, hay un buen modelo de estructura (que no entiendo muy bien) en el que tiene sentido llamar a $\mathcal U_\bullet \to X$ una resolución de $X$ (esto ocurre exactamente cuando cada $n$ -intersección doble $U_{i_1}\cap \cdots \cap U_{i_n}$ se puede contraer). La categoría $\mathrm{sAb}$ de los grupos abelianos simpliciales tiene una estructura modelo, por lo que podríamos definir $\mathrm R \Gamma(X,F) = \Gamma(\mathcal U_\bullet,F)$ esto vive en $\mathrm{Ho}(\mathrm{sAb})\simeq \mathrm{D}(\mathrm{Ab})$ .

Si trabajamos con esquemas en lugar de espacios topológicos, entiendo menos la situación. A grandes rasgos, para cada cubierta étale (o fppf, o fpqc, ...) $\mathcal U=\{U_i\to X\}$ la cubierta simplicial correspondiente $\mathcal U_\bullet \to X$ es una especie de "aproximación a una resolución de $X$ ." Por lo tanto, tiene sentido que $\varinjlim \Gamma(\mathcal U_\bullet,F)$ debe aproximar (y, en buenas condiciones, calcular directamente) la cohomología $\mathrm R\Gamma(X,F)$ .

Así que para responder a tu pregunta, creo que lo que ocurre es lo siguiente:

Puedes intentar calcular $\mathrm R\Gamma(X,F)$ ya sea resolviendo $X$ o la resolución de $F$ . Si $x$ es un espacio topológico honesto, existe una buena teoría para resolver $X$ y todo se soluciona. Pero si $X$ es una variedad y estamos trabajando en la topología étale, la noción de "resolver $X$ " no funciona muy bien, por lo que sólo nos da una aproximación de $\mathrm R\Gamma(X,F)$ .

Se agradecen mucho los comentarios/correcciones de las personas que realmente entienden lo que está pasando aquí.

Editar: En caso de que la idea de derivar un functor de dos variables en una variable a la vez parezca extraña, sólo hay que pensar, para cualquier categoría abeliana, en el functor $\hom(-,-)\colon \mathcal{A}\times \mathcal{A}^\circ\to \mathrm{Ab}$ . Es un functor derivado, $\mathrm{Rhom}(-,-)$ puede calcularse de dos maneras. Tomar una resolución inyectiva $A\to I^\bullet$ y pensar en $\hom(I^\bullet,B)$ como si viviera en la categoría derivada, o tomar una resolución proyectiva $P_\bullet \to B$ y considerar $\hom(A,P_\bullet)$ en la categoría de derivados. Hay que demostrar que éstas dan definiciones equivalentes de $\mathrm{Rhom}(A,B)$ .

Answer 2

Dejemos que $X$ sea una superficie de Riemann compacta / curva compleja proyectiva suave de género $g \ge 2$ . Topológicamente es un espacio Eilenberg-MacLane $B \pi_1(X)$ por lo que su cohomología es la cohomología de grupo de su grupo fundamental $\pi_1(X)$ (y su cohomología étale es la cohomología del grupo profinito de la terminación profinita $\widehat{\pi}_1(X)$ ). Si quisieras calcular su cohomología usando una cubierta de Cech, simplemente la cubrirías con algunos discos o lo que sea. Pero, por supuesto, no se puede cubrir una superficie de Riemann con discos en la geometría algebraica, ni siquiera en la topología de étale.

En la geometría algebraica, y en particular en la topología estal, lo que se hace es mirar los espacios de cobertura finitos de $X$ ya que se puede hablar de ellas algebraicamente debido al teorema de existencia de Riemann. Cualquier cubierta finita particular, o incluso colección finita de cubiertas finitas, sólo ve un cociente finito de $\pi_1(X)$ Así que es natural que tengas que verlos todos para poder ver todos los $\pi_1(X)$ (resp. $\widehat{\pi}_1(X)$ ).

Hay una cosa análoga pero algo mejor que se puede hacer en topología algebraica, que es mirar la cubierta universal de $X$ . Eso ve todo $\pi_1(X)$ a la vez. Pero la cobertura universal tampoco existe en la geometría algebraica, ni siquiera en la topología étale, por lo que, naturalmente, tomamos esa terminación profinita.