Cómo encontrar la forma cerrada de un binomio de la serie.

Question

Cuando se trabaja en un problema, necesitaba encontrar la forma cerrada de la secuencia infinita:

$$1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \cdots$$

He luchado con esto por un tiempo y, finalmente, encontró, a través de la Internet, que es igual a $(1+x)^{-2}$.

¿Cómo podría yo hemos acercado a este de tal manera que yo habría llegado a la respuesta a mí mismo?

Answer 1

Hay muchas maneras de obtener la función de esta serie. Uno es el uso negativo de los coeficientes binomiales: $$ \begin{align} \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{k+1}{1}x^k &=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{k+1}{k}x^k\\ &=\sum_{k=0}^\infty\binom{-2}{k}x^k\\[4pt] &=(1+x)^{-2} \end{align} $$

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Otro método sería restar la serie geométrica $$ \frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\dots $$ para obtener $$ \begin{align} f(x)-\frac1{1+x} &=-x+2x^2-3x^3+4x^4-\dots\\ &=-xf(x) \end{align} $$ La solución para $f(x)$ da $$ f(x)=\frac1{(1+x)^2} $$

Answer 2

Método 1. Diferenciar $$1-x+x^2-x^3+\cdots=\frac1{1+x}\ .$$

Método 2. Escribe la suma de esta manera: $$\eqalign{ 1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots&\cr {}-x+x^2-x^3+x^4-\cdots&\cr {}+x^2-x^3+x^4-\cdots&\cr {}-x^3+x^4-\cdots&\ .\cr}$$ La adición de la primera fila, luego la segunda y así sucesivamente por una serie geométrica da $$\frac1{1+x}-\frac{x}{1+x}+\frac{x^2}{1+x}-\frac{x^3}{1+x}+\cdots$$ que es otra de las series geométricas.

Answer 3

Vamos a patear la vieja escuela, como Euler - por que me refiero a ciegas manipular serie infinita para llegar a soluciones correctas.

Bien, tenemos la serie: $$A=1-2x+3x^2-4x^3+\ldots.$$ entonces pensamos, hey, todos aquellos creciente términos son molestos. Observe que $Ax$ es básicamente cambios de los coeficientes de $A$, y, puesto que los signos se alternan, la adición de cada coeficiente a la que después se va a eliminar la molesta sensación creciente de la naturaleza de esa suma y dejar sólo algunas de residuos sobre el común de las diferencias.

Así que, vamos a configurar: $$B=A+Ax=1-x+x^2-x^3+x^4+\ldots.$$ Vemos que tenemos un modelo de alternancia de los coeficientes de $1$ $-1$ - y bueno, haciendo lo mismo que antes, podemos deshacernos de todos los coeficientes por la adición de cada coeficiente para la próxima! Por lo tanto, vamos a hacer lo mismo: $$B+Bx = 1-0x+0x^2+\ldots = 1.$$ Esa es una constante! Podemos trabajar con una constante! Así que, ¿cómo podemos llegar? Bien, $$B=(1+x)A$$ $$1=(1+x)B$$ así $$1=(1+x)^2 A$$ lo que implica$$\frac{1}{(1+x)^2}=A.$$

¿Cuál es la conclusión? Bien, si tienes algo de funky de la serie, se puede tratar de reducir al mirar en los patrones y tratando de simplificar ellos (esp. diferencias entre los términos - que podemos utilizar métodos similares para relacionar esta a la más general de las funciones de generación). Y si usted tiene una identidad que quiero probar, pensar acerca de lo que define a ese número - $\frac{1}{(1+x)^2}$ es el número que, cuando se multiplica por $(1+x)^2$, los rendimientos de uno.

(Bueno, todas estas manipulaciones son bastante fáciles de justificar como estamos trabajando con absolutamente convergente la serie, así que no es real la vieja escuela de matemáticas...)

Answer 4

Sugerencia

Integrar término a término para obtener una serie geométrica (esto está permitido en el interior de la radio de convergencia de la serie).

Answer 5

Podemos tratar de encontrar la expansión en Series de Taylor (http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html) acerca de $0$ (también conocida como la Serie de Maclaurin (http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html)) de $(1+x)^{-2}$:

$$\frac{d}{dx} (1+x)^{-2}=-2(1+x)^{-3}\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d^2}{dx^2}(1+x)^{-2}=6(1+x)^{-4}$$ En general: $$\frac{d^n}{dx^n}(1+x)^{-2}=(-1)^n(n+1)!(1+x)^{-(n+2)}$$ Por lo tanto $$\frac{d^n}{dx^n}(1+x)^{-2}\Big|_{x=0}=(-1)^n(n+1)!$$ Ahora: $$(1+x)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d^n}{dx^n}(1+x)^{-2}\Big|_{x=0}\frac{x^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(n+1)!}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (n+1)x^n$$ $$=1-2x+3x^2-4x^3+\cdots$$ Como queríamos.