¿Qué pasa con la Identidad de Bezout?

Question

¿Qué pasa con la definición de la Identidad de Bezout? Como yo lo entiendo, dice que si $d = \gcd(a, b)$, entonces no existen números enteros $x,\ y$ tal que $ax+by=d$.

¿Por qué el requisito de que $d=\gcd(a,b)$ aunque? Parece que funciona incluso cuando este no es el caso. Por ejemplo, supongamos $a = 17$$b = 4$. A continuación,$d = 1$, sin embargo la configuración de $d = 2$ todavía genera un número infinito de soluciones: $$ x = -4n-2,\quad\quad y=17n+9\\ n\in\Bbb{Z} $$ y para $(a,\ b,\ d) = (19,\ 17,\ 5)$ obtenemos $x=-17n-6$$y=19n+7$. Sin embargo, para $(a,\ b,\ d) = (44,\ 55,\ 12)$ nos hacen no tienen soluciones.

¿Cuál es el alboroto? Por qué requieren $d=\gcd(a,b)$? Es como, no se puede garantizar la existencia de soluciones a $ax+by=d$ si $d=\gcd(a,b)$, y me tropecé a través de un caso donde esto sucede a trabajar? En ese caso podemos clasificar todos los casos en los que hay soluciones $x,\ y$, más específicamente de lo que acaba de $d=\gcd(a,b)$?

Answer 1

Decir que sabemos que hay soluciones a $ax+by=\gcd(a,b)$; luego si $k$ es un número entero, obviamente, hay soluciones para $ax+by=k\gcd(a,b)$. Acaba de tomar una solución de la primera ecuación, y se multiplica por $k$. De esta manera, si $d\neq \gcd(a,b)$, la ecuación puede ser "reduce" a una que si $d=\gcd(a,b)$. En tu ejemplo, tenemos $\gcd(a,b)=1,k=2$. Sin embargo, el número en el lado derecho debe ser un múltiplo de $\gcd(a,b)$; de lo contrario, no habrá soluciones, como $\gcd(a,b)$ claramente divide el lado izquierdo.

Answer 2

La identidad de Bézout dice que si $a,b$ son enteros, existe enteros $x,y$, de modo que $ax+by=\gcd(a,b)$.

Esto no significa que $ax+by=d$ no tiene soluciones al $d\neq \gcd(a,b)$.

Es obvio que $ax+by$ es siempre divisible por $\gcd(a,b)$. Así que esto significa que $\gcd(a,b)$ es el más pequeño posible entero positivo que existe una solución. No es en absoluto evidente, sin embargo, que siempre se puede lograr esta posible solución, que es el quid de Bézout.

Answer 3

El significado es que el $d = \gcd(a,b)$ es entre el valor de $d$ para los que hay soluciones. Esta es una importante propiedad de que un dominio puede tener — tanto es así que incluso hay un nombre especial para ellos: de Bézout dominios.

Un ejemplo donde esto no suceda es el anillo de polinomios en dos variables $s$ y $t$. $\gcd(st, s^2+st) = s$, pero la ecuación de $stx + (s^2+st)y = s$ no tiene soluciones para $(x,y)$.

El conjunto completo de $d$ para el cual la ecuación de $ax+by=d$ tiene una solución es $d = k \gcd(a,b)$ donde $k$ rangos de todos los números enteros. es decir, el conjunto de todas las combinaciones lineales de $\{a,b\}$ es el mismo que el conjunto de todas las combinaciones lineales de $\{ \gcd(a,b) \}$ (una combinación lineal de un objeto es simplemente el conjunto de sus múltiplos).

Esta idea se generaliza; trabajar con combinaciones lineales de anillo de elementos (con coeficientes sacado del ring), es muy importante en álgebra abstracta: llamamos a las cosas tales ideals, y hoy en día solemos empezar a estudiar desde el principio de anillo de la teoría.

Por cierto, si quieres una parametrización de todas las posibles soluciones, entonces:

Si $ax_0 + by_0 = \gcd(a,b)$, entonces todas las soluciones de $ax+by=d$ $(x,y)$ es de la forma $$ x = \frac{d x_0 + b n}{\gcd(a,b)}$$ $$ y = \frac{d y_0 - a n}{\gcd(a,b)}$$ donde $n$ rangos de todos los números enteros.

Answer 4

Una definición común de $\gcd(a,b)$ es que es un generador del ideal de la $(a,b)=\{ma+nb\mid m,n\in \mathbf Z\}$. Esta es la única definición que se generaliza fácilmente a la P. I. D. s

Tal ecuación no siempre tienen soluciones: $\; 6x+9y=$, por ejemplo,no tienen solución. En realidad, no es difícil demostrar que, en general, $$\{ax+by\mid x,y\in \mathbf Z\}$$ es el conjunto de múltiplos de $\gcd(a,b)$.

Answer 5

Parafraseando a la última pregunta, se puede llegar al quid de la cuestión:

Podemos clasificar todos los enteros soluciones de $x,y,z$$ax + by = z$, en lugar de sólo tomar nota de que no existen soluciones al $z=\gcd(a,b)$?

Sí. Ese es el punto del teorema! No hay nada interesante sobre la búsqueda de soluciones aisladas $(x,y,z)$$ax + by = z$. Si quería, podía simplemente enchufe en random $x$ $y$ valores y establecer $z$ a lo que sale en el otro lado. Lo interesante es encontrar todas las posibles soluciones a esta ecuación. Y resulta que la prueba de la existencia de una solución al $z=\gcd(a,b)$ es la parte más difícil de responder esa pregunta. Una vez que usted sabe que la respuesta a la original, interesante pregunta es muy fácil:

Corolario de la Identidad de Bezout. $ax + by = z$ tiene un número entero de solución de $x,y,z$ si y sólo si $z$ es un múltiplo de a $d=\gcd(a,b)$.

Prueba: en Primer lugar vamos a mostrar que hay una solución si $z$ es un múltiplo de a $d$. Por la Identidad de Bezout, $ax + by = z$ tiene una solución si $z=d$, y es fácil ver que existe una solución para cualquier múltiplo $z = kd$: acaba de tomar una de esas soluciones $ax + by = d$ y multiplicar a ambos lados por $k$: $$k(ax + by) = kd$$ $$a(kx) + b(ky) = z.$$

Ahora vamos a hacer la otra dirección: demostrar que siempre hay una solución, entonces se $z$ es un múltiplo de a $d$. Por la definición de mcd, existen enteros $m, n$ tal que $a = md$$b = nd$, por lo que $$z = mdx + ndy = d(mx + ny).$$ We see that $z$ is a multiple of $d$ as advertised. $\square$