Una manera de definir un límite de punto de conjunto S es que "todos los barrios de la que contiene al menos un punto de S y al menos un punto fuera de S".
Me pregunto si es OK para reemplazar "barrio" por "bola abierta centrada en él"? ¿Cuál es la diferencia? La cuestión es ¿por qué introducir el concepto de "barrio" en el primer lugar? Su papel parece muy similar a la de abrir las bolas.
En un espacio métrico, las dos definiciones son equivalentes, desde un barrio de $x$ es sólo un conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene a $x$. En un espacio topológico, generalmente no es una métrica, y así abrir las bolas realmente no puede ser definido, y así los barrios se utilizan. En espacios topológicos, los barrios se utiliza a menudo cuando de la apertura de bolas se usa cuando se trataba de un espacio métrico.
Una bola abierta es un básico conjunto abierto en el estándar de la topología de espacios métricos. Pero si el espacio no es métrica necesita de la noción general de conjunto abierto.
Un conjunto abierto es un elemento de algunos topología sobre un poco de espacio (verificación de la definición axiomática de la topología). Un barrio en algún punto es un conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene al punto, es decir, si tenemos el espacio topológico $(D,\mathcal T)$$x\in D$, $N$ es un barrio de $x$ si y sólo si
En la métrica de los espacios de la norma topología inducida por la métrica de tal forma que si $U_{\epsilon}$ es una bola abierta de radio $\epsilon>0$ $U_{\epsilon}\in\mathcal T_m$ donde $\mathcal T_m$ es la topología inducida por la métrica en el espacio.
Barrio puede ser visto como una generalización de abrir las bolas cuando el concepto se extendió a los no espacio métrico. Concepto de open esferas depende de la distancia definida entre dos puntos. Sin embargo espacios topológicos permitir a los barrios a ser definido en términos de conjuntos. Una topología puede ser definida como la clase de conjuntos que satisface cierre arbitrario de los sindicatos y de la intersección finita y icludes todo el conjunto, así como el conjunto vacío. Por ejemplo, considere el $X=\{a,b,c,d\}$ la topología $T=\emptyset, \{a\},\{a,b\},\{a,b,c\}, \{a,b,c,d\}$ . Aquí en c y d son puntos de límite para $\{a,b\}$
Mientras que las otras respuestas cubrir la razón más obvia bien, permítanme añadir un par de razones para definir y usar el concepto de barrios que se aplican incluso en espacios métricos:
La última razón no puede hacer mucho sentido para usted, sin más experiencia, pero no puedo decirle cuántas veces he luchado con fuerza para demostrar algo, sólo para volver a un par de años más tarde y descubrir que es casi trivial desde el punto de vista, y todos los detalles que he luchado a través de la que eran innecesarias.
En un espacio métrico, dado un conjunto $U$ y un punto de $p$, los siguientes son equivalentes:
- $U$ es un barrio de $p$
- $U$ contiene un subconjunto abierto que contiene a su vez $p$
- Para algunos radius $r > 0$, $U$ contiene (como un subconjunto) la bola abierta de radio $r$ centrada en $p$.
- Para algunos radius $r > 0$, $U$ contiene (como un subconjunto) la bola cerrada de radio $r$ centrada en $p$.
Usted puede encontrar que es esclarecedor para tratar de probar que el anterior ejercicio.
Tenga en cuenta que las ideas de abrir conjuntos y barrios de aplicar en un contexto más general de la configuración de espacios métricos. (En particular, son aplicables en cualquier espacio topológico.) El autor de su material de origen probablemente estaba tratando de inculcar el buen hábito de pensar acerca de open conjuntos y barrios, en sus propios términos, con el fin de prepararse para el pensamiento sobre el más general de espacios topológicos más tarde.
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