Me topé con este breve artículo sobre el fin de semana pasado, se introduce una integral truco que explota la diferenciación bajo el signo integral. En su última página, el autor, Señor Anónimo, dejó varios ejercicios sin ninguna pista, uno de ellos es la evaluación de la integral de Gauss $$ \int^\infty_0 e^{-x^2} \,dx= \frac{\sqrt{\pi}}{2} $$ el uso de esta parametrización truco. Yo había estado evaluando a través de ensayo y error con diferentes paramatrizations, pero sin suerte hasta el momento.
Aquí está lo que he probado hasta ahora:
Un primer instinto sería hacer algo como:$$ I(b) = \int^\infty_0 e^{-f(b)x^2}\,dx $$ para algunos permisible de la función $f(\cdot)$, diferenciando la llevará a una simple solución ode: $$ \frac{I'(b)}{I(b)} = -\frac{f'(b)}{2f(b)} $$ lo que da: $$ I(b) = \frac{C}{\sqrt{f(b)}}. $$ Sin embargo, la búsqueda de esta constante $C$, básicamente, es equivalente a la evaluación de la integral original, estamos atrapados aquí sin salir de esta parametrización truco marco.
Un segundo intento implica un ejercicio en la misma página: $$ I(b) = \int^\infty_0 e^{-\frac{b^2}{x^2}-x^2}dx. $$ Tomando la derivada y reescalado de la integral utilizando el cambio de variable tenemos: $$ I'(b) = -2I(b). $$ Esto nos da otro imposible resolver constante $C$ en: $$ I(b) = C e^{-2b} $$ sin salir de este marco una vez más.
La tercera prueba está tratando de modificar Américo Tavares la respuesta en este MSE pregunta: $$ I(b) = \int^\infty_0 ser^{-b^2x^2}\,dx. $$ Es fácil demostrar que: $$ I'(b) = \int^\infty_0 e^{-b^2x^2}\,dx \int^\infty_0 2b^2 x^2 e^{-b^2x^2}\,dx = 0 $$ por una integración por partes identidad: $$ \int^\infty_0 x^2 e^{- c x^2}\,dx = \frac{1}{2c}\int^\infty_0 e^{- c x^2}\,dx . $$ Entonces $I(b) = C$, ay, pegado de nuevo en esta constante.
Aviso en el que se Acredite $\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt \pi}{2}$ pregunta, Bryan Yocks la respuesta es algo similar a la idea de parametrización, sin embargo, él tiene que introducir otro paramétrico de integración para producir una integral definida que conduce a $\arctan$.
Existe un one shot parametrización truco solución como el autor Anónimo afirmó ser "creativo parametrizaciones y una dosis de diferenciación bajo el integral"?
