(esto no es una prueba)
Al parecer, para squarefree $k$, el límite es de $l(k) = \frac 1 2 \prod_{\text {prime }p} f_k(p)$, donde :
$$ f_k(p) = \left\{ \begin{array}{ll} \lim_{m \to \infty} E[ \#\{c \in \mathbb Z/p^m\mathbb Z, a^2+b^2 = c^2+k \}]_{(a,b)\in \mathbb (Z/p^m\mathbb Z)^2} & \text {for } p=2 \\
\lim_{m \to \infty} E[1+v_p(c^2+k)]_{c \in \mathbb Z/p^m\mathbb Z} & \text {for } p\equiv 1 \mod 4\\
\lim_{m \to \infty} E[\frac 1 2 (1 + (-1)^{v_p(c^2+k)})]_{c \in \mathbb Z/p^m\mathbb Z} & \text {for } p\equiv 3 \mod 4 \end{array} \right.$$
El argumento de esta fórmula es la siguiente : el número de formas de escribir un número entero $n$ como una suma de dos cuadrados es el número de elementos de la norma $n$$\mathbb Z[i]$. Modulo de las unidades de $\mathbb Z[i]$, es el producto de la $(1+v_p(n))$ $n \equiv 1 \mod 4$ e de la $\frac 1 2 (1 + (-1)^{v_p(n)})$ $n \equiv 3 \mod 4$ (es una consecuencia directa del ideal de la estructura del grupo de $\mathbb Z[i]$). De modo que los factores con $p>2$ expresa el valor esperado del número de elementos cuya norma es un "elegido al azar" entero. El factor de $p=2$ es de ahí para corregir la conspiración de $a^2+b^2$ no golpear cosas de manera uniforme en $\mathbb Z_{(2)}$ (por ejemplo que no llega a las cosas de la forma $4q+3$). Finalmente, el $\frac 1 2$ frente a la del producto, debido a que contamos con los elementos de la norma $c^2+k$ no sólo a las unidades, sino también a la conjugación.
Deje $\chi(p) = 1$ si $p \equiv 1 \mod 4$ $\chi(p) = -1$ si $p \equiv 3 \mod 4$, y voy a suponer que $k$ es squarefree.
Si $p$ es una extraña primer dividiendo $k$, $v_p(c^2+k) = \min (v_p(c^2,1)) = 1$ si $p$ divide $c$, $= 0$ de lo contrario. En este caso, $f_k(p) = \frac{p-1}p + \frac 2 p = \frac {p+1} p$ al $\chi(p)=1$ ; y $f(p) = \frac{p-1}p$ cuando $\chi(p)=-1$ : $f_k(p) = \frac{p+\chi(p)}p$
Si $p$ es una extraña prime no dividiendo $k$ e si $-k$ es un cuadrado mod $p$, $-k$ tiene dos raíces cuadradas en $\mathbb Z_{(p)}$ y tenemos $v_p(c^2+k) = v_p(c+\sqrt{-k}) + v_p(c- \sqrt{-k})$, por lo que la "probabilidad" de $v_p(c^2+k) \ge l$$2/p^l$. Por lo tanto, obtenemos $f_k(p) = 1 + 2\chi(p)/p + 2/p^2 + 2\chi(p)/p^3 + \ldots = 2/(1- \chi(p)\frac 1p)-1 = \frac{p+\chi(p)}{p-\chi(p)}$
Si $p$ es una extraña prime no dividiendo $k$ e si $-k$ no es un cuadrado mod $p$, $c^2+k$ nunca puede ser un múltiplo de $p$, lo $v_p(c^2+k) = 0$, e $f_k(p) = 1$.
Deje $\chi_d(p) = 1$ si $d$ es un cuadrado mod $p$, $-1$ si no lo es, y $0$ si $p$ divide $d$. Vemos que siempre tenemos $$f_k(p) = \frac{p+\chi(p)}{p-\chi_{-k}(p)\chi(p)} = \frac{p+\chi(p)}{p-\chi_k(p)} = \frac{p^2-1}{(p-\chi_k(p))(p-\chi(p))} $$
Entonces reconocemos un producto de Euler, que converge (excepto cuando se $k = 1$ donde $\chi_k$ es el carácter trivial) y que nos puede calcular gracias a el número de clase de la fórmula (tenga cuidado, porque hasta ahora hemos implícitamente quiere tener $2$ en el conductor de $\chi_k$) $$\prod f_k(p) = \frac{f_k(2) L(\chi_k,1)L(\chi,1)}{\frac 34 \zeta(2)} = \frac{f_k(2) h(k) R(k) \phi_2(k) }{(w_k/2) \sqrt{|k|} \phi_\infty(k)}$$
donde $h(k)$ es el número de clase de $\mathbb Q(\sqrt{k})$, $R(k)$ es su regulador,$w_k$ su número de raíces de la unidad, $\phi_2(k) = 3$ si $k \equiv 5 \mod 8$, $1$ de lo contrario, $\phi_\infty(k) = \frac \pi 2$ si $k>0$, $1$ de lo contrario.
Ahora, $f_k(2)$ no es difícil de calcular, debido a la expectativa de que el número de soluciones se estabiliza rápidamente. La fórmula está de acuerdo con los resultados presentados hasta el momento
y también trabaja para la positiva $k$ :
$\begin{array}{ccccccccccccc} k & -13 & -11 & -10 & -7 & -6 & -5 & -3 & -2 & -1 & +2 & +3 & +5 \\
f_k(2) & 1/2 & 1 & 1/2 & 2 & 1/2 & 1/2 & 1 & 1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 & 1 \\
l(k) & \frac 1 {2 \sqrt{13}} & \frac 3 {2 \sqrt {11}}
& \frac 1 {2 \sqrt{10}} & \frac 1 {\sqrt 7} & \frac 1 {2 \sqrt{6}}
& \frac 1 {2 \sqrt{5}} & \frac 1 {2 \sqrt{3}} & \frac 1 {4 \sqrt{2}} & \frac 18
& \frac {\log(1+\sqrt 2)}{2 \pi \sqrt 2} & \frac {\log(2+\sqrt 3)}{2 \pi \sqrt 3}
& \frac {3 \log(\frac {1+\sqrt 5}2)}{\pi \sqrt 5}\end{array} $
