La proposición 5.21 en Atiyah-MacDonald

Question

Hay solo un paso en esta prueba que no puede ver por la vida de mí.

Configurar: Tenemos un campo K y una algebraicamente cerrado de campo $\Omega$. $(B, g)$ es maximal en el conjunto $\Sigma$ de los pares ordenados $(A, f)$ donde $A$ es un sub-anillo de K y $f$ un homomorphism en $\Omega$ donde $\Sigma$ tiene el orden parcial $(A, f) \leq (A', f')$ si $A$ es un sub-anillo de $A'$$f'|_{A} = f$. El global de la demanda es que $(B, g)$ es una valoración de $K$. Dejamos $M$ ser el único ideal maximal de a $B$ (que existe). Tomamos $x \in K$ $x \neq 0$ y puede suponer que $M[x]$ no es la unidad ideal de $B' = B[x]$(por un lexema), de modo que en algunas de las máximas ideal $M'$. Deje $k = B/M$$k' = B'/M'$.

La reclamación no entiendo: Desde $k' = k[\bar{x}]$ $\bar{x}$ la imagen de x en k' (que yo vea), $\bar{x}$ es algebraico sobre k.

Answer 1

Si tu duda es lo que creo que es, entonces recuerde: si $\,k/F\,$ es una extensión de campos y $\,w\in k\,$, $\,F(w)=F[w]\Longleftrightarrow w\,$ es algebraico sobre $\,F\,$.

En tu caso, ya que $\,k'\,$ es un campo, entonces es igual al polinomio anillo en $\,k[\overline{x}]\,$ fib de este elemento es algebraico sobre $\,k\,$

Answer 2

Supongamos $\bar x$ no es algebraico sobre $k$. A continuación, $k[\bar x]$ es isomorfo al polinomio anillo de $k[X]$. Sin embargo $k[X]$, no es un campo(cualquier polinomio de grado $\geq 1$ $k[X]$ no es invertible en a $k[X]$). Por lo tanto $k[\bar x]$, no es un campo. Esta es una contradicción. Por lo tanto $\bar x$ es algebraico sobre $k$.