Planteé una pregunta (¿Por qué decimos "casi seguramente" en Teoría de la Probabilidad??) sobre lo que exactamente significa "casi seguramente" y recibí algunas respuestas realmente buenas y útiles. Los ejemplos de eventos que casi seguramente no pueden ocurrir eran claros, pero también noté que todos eran eventos físicamente no realizables.
Una moneda casi seguramente no caerá siempre cara un número infinito de veces. Una selección al azar de una distribución uniforme casi seguramente no será exactamente 1/2. Cada persona que participe en una rifa en la que infinitas personas compren boletos casi seguramente perderá. Todo es cierto. Pero, por supuesto, no es posible lanzar una moneda un número infinito de veces, no es posible expresar (mucho menos elegir) un número verdaderamente aleatorio ya que la mayoría de los números son irracionales, y no habría forma de notificar al ganador de la Rifa Infinita porque no se podría publicar su número ganador infinito.
Entonces, ¿existe algún proceso físicamente realizable en el que casi con seguridad no pueda ocurrir un resultado específico y especificable?
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¿Obtener un 7 en un dado de seis caras?
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@Gummybears: Es casi seguro que no ocurra. Pero ¿no es incluso imposible que ocurra?
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Echa un vistazo a: jstor.org/stable/2946572?seq=1#page_scan_tab_contents. Por supuesto, se podría argumentar que no es realmente físico porque el autor no tiene en cuenta la relatividad. Pero aún así, es genial. Cosas como esta aparecen en la física, como la probabilidad de balancear un péndulo y que se quede exactamente en la parte superior.
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@AlexS Eso está bueno. Por supuesto, la Mecánica Cuántica nos dice que no hay tal cosa como un péndulo quedándose exactamente atascado en la parte superior, y de todos modos, para quedarse atascado solo necesita detenerse lo suficientemente cerca de la parte superior como para no vencer la fricción de van der Waals, blah blah blah.
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@GudsonChou Bueno en este mundo, si tenemos en cuenta la física cuántica, ¿realmente nada es 'imposible', verdad?
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@Gummybears: Ah, mundo cuántico. Sí, pasé por alto ese punto de vista. :)
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@Gummybears Incluso en un mundo de MQ, obtener un 7 en un dado de seis es imposible. Si sacaras un 7 o si los dados se convirtieran en un elefante, considerarías la tirada inválida.
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@JerryGuern QM y GR son llaves en las obras. Pero para extender el ejemplo, clásicamente, cualquier equilibrio en una EDO tiene una variedad estable de medida $0$ casi seguramente nunca se alcanzará.
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@JerryGuern Es posible que aparezcan puntos adicionales en una cara. Mira, todo depende de cómo lo mires. ¿Por qué debería considerar inválida la jugada?
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Incluso en el mundo cuántico algunas cosas son imposibles. Es imposible medir el espín de un electrón para que sea otra cosa que no sea $\pm\hbar/2$. Pero hay cosas que casi con certeza no sucederán, como medir la posición de una partícula (unida en algún potencial físico) para que esté exactamente en $1$.
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Dices que una moneda casi seguramente no caerá cara un número infinito de veces (¿si la lanzas infinitamente?). Esto es falso. Pero quizás más relacionado con tu pregunta: Si prescribes any resultado $(x_n)_n \in \{H,T\}^\Bbb{N}$, entonces cada uno de estos resultados tiene probabilidad cero. Sin embargo, uno de ellos ocurrirá.
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@PhoemueX Simplemente afirmar que algo es falso sin explicarte no es muy útil.
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@JerryGuern El OP quiso decir que una moneda casi seguramente caerá cara un número infinito de veces, suponiendo que se lance un número infinito de veces. La probabilidad de que se lance un número finito de veces es claramente 0, pero aún dentro del espacio de probabilidad.
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@JerryGuern: Sí, lo siento. Ahora me doy cuenta de que tal vez la redacción de la declaración es solo ambigua. Si lanzas la moneda un número infinito de veces, casi seguramente obtendrás cara infinitas veces y cruz infinitas veces, esto es una consecuencia del lema de Borel-Cantelli.
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@PhoemueX Ah, entiendo. Sí, quería decir que si lanzamos la moneda infinitamente veces, es casi seguro que no salgan todas las caras.
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@JerryGuern : Seguí tu ejemplo de la moneda al aire y la variable aleatoria uniforme (ambos tienen significados de probabilidad bien definidos), pero no tu ejemplo de la rifa. No es posible definir una función de masa uniforme sobre un conjunto infinito numerable. Por lo tanto, las probabilidades de ganar una rifa para cada persona deben ser no uniformes (como $(1/2)^n$ para la persona $n$) y, por lo tanto, es de hecho posible que una persona en particular gane con probabilidad positiva.
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@Michael Respondiste a tu propia objeción: "No es posible definir una función de masa uniforme sobre un conjunto infinito numerable". ¡Correcto! Debido a que la función de masa simplemente se acercaría a cero. Casi seguramente, cada jugador no ganaría porque su probabilidad de ganar es cero.
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@JerryGuern: Mi punto es que la situación de la rifa ni siquiera puede construirse dentro del mundo (posiblemente imaginario) de la probabilidad, mientras que el lanzamiento de moneda y los ejemplos uniformes sí pueden. A menos que, por ejemplo, asumas que hay un número infinito incontable de participantes y vuelvas al ejemplo de la variable aleatoria uniforme sobre $[0,1]$.