Encuentra el valor de a+b+c

Question

Si $x+1$ es un factor de $ax^4 + bx^2 + c$ encontrar el valor de $a + b + c$ ? Sé que es igual a cero, pero tengo que saber cómo hacerlo.

Answer 1

Todo lo que necesitas aquí es el siguiente hecho:

Si $(x-r)$ es un factor del polinomio $P(x)$ entonces $P(r) = 0$ .

Answer 2

Una pista: Pruebe a dividir $ax^4+bx^2+c$ por $x+1$ a través de la división larga. ¿Qué es el resto? ¿Cuál debería ser?

Answer 3

Si estás familiarizado con la división sintética, puedes usar esa técnica para dividir $ax^4 + bx^2 + c$ por $x+1$ y encontrar el resto. Si no, puedes utilizar la división larga.

Independientemente de la técnica que utilice, para $x+1$ para dividir limpiamente $ax^4 + bx^2 + c$ , entonces el resto debe ser cero. Una vez encontrado el resto, asigna valores a $a, b, c$ para que ese resto sea cero.

EDIT: Dejando esto aquí como una solución alternativa. El enfoque de TonyK es muy superior.

Answer 4

Como atajo para la división larga, observe que si $x+1$ es un factor de $ax^4+bx^2+c=0$ entonces $x-1$ también es un factor. Dividir $ax^4+bx^2+c$ por $(x+1)(x-1)=x^2-1$ para obtener el resto $a+b+c$ que debe ser igual a $0$ .

Answer 5

Dejemos que $p(x)=ax^4+bx^2+c$ . Se nos da $p(x)=(x+1)q(x)$ para $q(x)$ algún polinomio cúbico. Ahora evalúalo en $x=-1$ y obtenemos $p(-1)=a(-1)^4+b(-1)^2+c=a+b+c=0\cdot q(x)=0$ así que $a+b+c=0$