Encuentra el valor de la suma de los recíprocos de las potencias de un número

Question

Hay una forma simple de encontrar el valor de la siguiente expresión? $$\frac1x+\frac1{x^2}+\frac1{x^3}+\cdots$$

En ensayo y error, yo estaba recibiendo $\frac1{x-1}$, pero estoy buscando una prueba matemática.

Por favor, no use complicado notación como suma a menos que sea absolutamente necesario, porque no estoy muy familiarizado con él.

Edit: he probado otro método. Deje que la respuesta se $a$. Si calculamos $ax$, tenemos lo que parece ser $1+a$. $$ax=1+a$$ $$ax-a=1$$ $$a(x-1)=1$$ $$a=\frac1{x-1}$$

Es suficiente para probar la respuesta?

Answer 1

Definir el $n$ésima suma parcial por $$ S_n = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \dots + \frac{1}{x^n} $$ Entonces \begin{align*} x S_n &= 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \dots + \frac{1}{x^{n-1}} \\ \implies x S_n - S_n &= 1 - \frac{1}{x^n} \iff S_n = \frac{1- \frac{1}{x^n}}{x-1}, \; x \neq 1 \end{align*} Ahora suponga $\left| \frac{1}{x} \right| < 1$. El límite de $n \to \infty$ es entonces \begin{align*} S := \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1- \frac{1}{x^n}}{x-1} = \frac{1}{x-1}, \end{align*} debido a $(1/x)^n$ $0$ si $|1/x| < 1$.

Si $|1/x| > 1$ el límite es de $ \pm \infty$ y la suma diverge.

Answer 2

Si $|x|>1$, vamos a $y=\frac{1}{x}$. A continuación, $|y|<1$, y su serie es

$y+y^2+y^3+...$

Esta es una serie geométrica, para los que el límite es conocido por ser $\frac{y}{1-y}$ si $|y|<1$, y se aparta de lo contrario. Ahora, ¿por qué?

Factorizar $(1-y^{n+1})=(1-y)(1+y+y^2+...+y^n) \Rightarrow (1+y+y^2+...+y^n)=\frac{1-y^{n+1}}{1-y}$.

Si $|y|<1$,$y^{n+1} \to 0$, y la suma es $(1+y+y^2+...+y^n)=\frac{1}{1-y}$. Restando $1$ en ambos lados da el resultado. Si $y=-1$, entonces la suma constantemente oscilates entre el $+1$ $-1$ (suponiendo que estos son números reales), y si $y<-1$ oscilates aún más, así que la serie no puede converger. Si $y\geq 1$, entonces la serie diverge porque se están añadiendo cada vez más grandes números.

Ahora, su método es la mitad derecha. Se da la suma de la serie, siempre hay uno. El problema es que usted está asumiendo que hay un número de derecho de los murciélagos, que podría ser incorrecta: intente conectar $a=+\infty$ a ver que método llega a una expresión indeterminada $\infty - \infty$

EDIT: Ah, y me olvidaba, pero $\frac{y}{1-y} = \frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=\frac{1}{x-1}$, que es el resultado buscado.

Answer 3

Su edición con la prueba de que $a = \frac{1}{x-1}$ es muy bueno. Algunas personas mencionaron que sólo funciona si $\lvert x \rvert > 1$, y usted indicó que no estaban seguros acerca de eso, así que tal vez esto podría ayudar a:

Básicamente, lo que sucede si $x = \frac{1}{2}$?

A continuación,$\frac{1}{x} = \frac{1}{1/2} = 2$, por lo que $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} +\frac{1}{x^4}+ \ldots = 2 + 4 + 8 + 16 +\ldots $$

Probablemente es claro que si la suma de todos estos números juntos, usted debe obtener el infinito. Este es un ejemplo de una "divergente" de la serie, la serie no está acercando a un solo número.

De todos modos, cuando se $x = \frac{1}{2}$, su fórmula predice que $$ 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots = \frac{1}{1/2 - 1} = \frac{1}{-1/2} = -2, $$ lo que no parece correcto. Por lo que su fórmula $a = \frac{1}{x-1}$, que funciona muy bien cuando se $x> 1$, no parece funcionar para $x = \frac{1}{2}$.

Este no es tu culpa! Su fórmula es la "correcta". Pero hay buenas razones por las que su fórmula sólo funciona si $\lvert x \rvert > 1$. (Algunas otras cosas para probar: ¿qué pasa si $x = 1$? Lo que si $x = -1$? Lo que si $x = 0$? Lo que si $x = -\frac{1}{2}$?)

Para aprender más, usted puede ser que desee para el estudio de Series Geométricas:

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series