Estaba leyendo Mumford de nuevo y me di cuenta de un comentario en el comienzo del libro: "Por último, en el estudio de la general preschemes, las variedades están obligados, por muchas razones que no voy a discutir aquí, para jugar un papel único y fundamental."
Mi pregunta es: ¿existe un teorema (o una serie de teoremas), Mumford podría haber sido insinuando?
El núcleo de un isogeny entre abelian esquemas es plana. La razón es que es cierto que más de un campo y, a continuación, utilizar la fibrewise criterio de planitud. No sé de ninguna otra prueba. Así que hay un ejemplo en el que como yo sé que usted necesita para el estudio de las variedades incluso si usted está realmente interesado en los planes de...
Aquí está una genial ilustración de un principio que Emerton fue delineando. Sabemos que el grupo de Picard de proyectiva $(n-1)$-más de espacio que en un campo de $k$ es $\mathbf{Z}$ ($n \ge 2$), generado por $\mathcal{O}(1)$. Esto demuestra la prueba de que el automorphism grupo de un espacio proyectivo es ${\rm{PGL}}_n(k)$. Pero, ¿qué es la automorphism grupo de $\mathbf{P}^{n-1}_A$ por un anillo de $A$? Es ${\rm{PGL}}_n(A)$? Es decir, existe un natural mapa $${\rm{PGL}} _n (A) \rightarrow {\rm{Aut}} _A (\mathbf{P}^{n-1} _A)$$
(ver mi respuesta en la publicación se llama algo así como "Es ${\rm{PSL}}_2 = {\rm{PGL}} _2$?") y queremos saber si es un isomorfismo. Es realmente importante el hecho de que la respuesta es sí. Pero, ¿cómo demostrar ? Es una lástima que esto no se hace en Hartshorne.
Por un elemental de localización (como en el último paso de Emerton de la respuesta), podemos suponer que $A$ es local. En este caso pretendemos que ${\rm{Pic}}(\mathbf{P}^{n-1}_A)$ es infinito cíclico generado por $\mathcal{O}(1)$. Desde esta línea de paquete tiene el conocido $A$-módulo de global secciones, se daría el resultado deseado si es true (desde ${\rm{PGL}}_n(A) = {\rm{GL}}_n(A)/A^{\times}$ local $A$) por el mismo argumento como en el campo de caso. Y como sabemos que el grupo de Picard sobre el residuo de campo, se puede torcer para llegar al caso en el que la línea bundle $\mathcal{L}$ es trivial en el especial de la fibra y, a continuación, se puede formular el problema en dos equivalentes maneras: (I)"levantar" la generación de la sección a una generación de sección sobre $A$, o (II) probar que $f _{\ast}(\mathcal{L})$ es invertible en a $A$ natural con la mapa de $f^{\ast}(f _{\ast} \mathcal{L}) \rightarrow \mathcal{L}$ un isomorfismo. Cómo hacerlo?
Paso 0: El caso al $A$ es un campo. Hecho.
Paso 1: El caso al $A$ es artin local, a través de (I): esto va a través de la inducción sobre la longitud, el caso de la longitud, siendo 0 el Paso 0 y la inducción de descanso en cohomological resultados para proyectiva del espacio sobre el residuo de campo.
Paso 2: en El caso de al $A$ es local completo noetherian anillo. Este pasa a través de (I) con el Paso 1 y el teorema de las funciones oficiales (planes oficiales dentro de un disfraz).
Paso 3: El caso al $A$ es local noetherian. Este es fielmente plano descenso, (II) desde el Paso 2 se aplica encima de $\widehat{A}$.
Paso 4: El caso al $A$ es local: descenso de la noetherian caso local en el Paso 3 a través de la directa límite de argumentos.
"CQD"
Las fibras de cualquier morfismos de esquemas los esquemas de más de un campo. Si los morfismos si finitos tipo, entonces ellos son finitos tipo de esquemas más de un campo, es decir, son (esencia) de las variedades.
Muchos de los argumentos que proceden de el caso de una variedad de más de un campo, para el caso de un esquema de más de un Artinian anillo local, a un esquema más completo anillo local (un proyectiva límite de Aritinian local de los anillos), a un esquema sobre un anillo local (digo por el descenso), para el caso general (por el paso de los tallos a los barrios). Por ejemplo, muchos de los resultados sobre abelian esquemas se demuestran en el este (o algunos estrechamente relacionadas). (Ver, por ejemplo, Kevin Buitre de la respuesta, y también ver a Brian Conrad respuesta para un ejemplo de este tipo de argumento en un contexto diferente.)
Yo no estoy seguro de qué es exactamente la palabra variedad de medios, pero finito-tipo siempre está incluido, creo, y no ha sido puesto todavía. Cada anillo es un límite de finitely generado anillos. Aún más, la categoría de los anillos es equivalente a la ind-categoría de fintely generado anillos. Así que, en cierto sentido, finitely generado anillos de determinar todo. Esto también schemeifies: la categoría de cuasi-compacto cuasi-separados de los esquemas es equivalente a la pro-categoría de esquemas de finito, en donde todos los mapas de transición son afines. (Espero que me de ese derecho.) Es muy estándar para reducir los teoremas acerca de los esquemas, que son, posiblemente, no finito de tipo para el caso donde están.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
