Vamos a considerar sólo cuatro casos en nuestro análisis. Los otros desaparecidos de los casos puede ser analizado por un enfoque similar.
Deje $A$ un número real tal que $A=a^\frac{2}{3}+b^\frac{2}{3}-1$ $g(x)= a\sin x + b\cos x-\cos x\sin x$ a una función con dominio de $[0, 2\pi[$ , vamos a analizar el número de ceros de $g(x)$ en función de $A$.
(1) en Caso de ( $a=0$ $b \neq 0$)
$$g(x)=0 \Leftrightarrow b\cos x-\cos x\sin x = 0$$
$$ \Leftrightarrow \cos x(b-\sin x)=0$$
Para $b^2>1$ tenemos $A>0$ y dos soluciones distintas.
Para $b^2<1$ tenemos $A<0$ y cuatro soluciones distintas.
Para $b^2=1$ tenemos $A=0$ y un doble de la raíz y sencilla.
(2) Casos ( $a \neq 0$ $b = 0$)
$$g(x)=0 \Leftrightarrow a\sin x-\cos x\sin x=0$$
$$\Leftrightarrow \sin x(a-\cos x)=0$$
Para $a^2>1$ tenemos $A>0$ y dos soluciones distintas.
Para $a^2<1$ tenemos $A<0$ y cuatro soluciones distintas.
Para $a^2=1$ tenemos $A=0$ y un doble de la raíz y sencilla.
(3) en Caso de ( $a=0$ $b = 0$)
$$g(x)=0 \Leftrightarrow -\cos x\sin x=0$$
Tenemos $A<0$ y la ecuación tiene cuatro soluciones distintas.
(4) Casos ( $a>0$ $b>0$)
$$g(x)=0 \Leftrightarrow a\sin x + b\cos x-\cos x \sin x=0$$
De la ecuación anterior $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, y $\frac{3\pi}{2}$ nunca son soluciones de (Compruebe por usted mismo).
Vamos a hacer el siguiente factorizar:
$$g(x)=(a\tan x + b - \sin x)\cos x$$
Y vamos a definir $f(x)=a\tan x + b - \sin x$.
Cada raíz de $f(x)$ es una raíz de $g(x)$.
Así que vamos a la búsqueda de las raíces de $f(x)$.
$$f(x)=0 \Leftrightarrow a\tan x + b= \sin x$$
Si cambiamos los valores de $a$ y $b$ ($a>0$ y $b>0$) de la gráfica de $a\tan x+b$ siempre cruzar la gráfica de $\sin x$ una vez en los intervalos de $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi[$. Por lo $f(x)$ tiene al menos dos raíces en $[0, 2\pi[$.
Ver el siguiente gráfico:
![Atanx+bAndsinx]()
Para $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ debemos analizar los valores de $a$$b$.
El mínimo local de $f(x)$ $[0, \frac{\pi}{2}]$ se produce en $\cos x_0 = a^\frac{1}{3}$ es decir $x_0= \arccos a^\frac{1}{3}$.
Si sustituimos $x_0$ $f(x)$ obtenemos:
$$f(x_0)= \frac{a \sin (\arccos a^\frac{1}{3})}{a^\frac{1}{3}} + b - \sin (\arccos a^\frac{1}{3})$$
Después de algunos álgebra se obtiene:
$$f(x_0) = -(1-a^\frac{2}{3})^\frac{3}{2} + b$$
Ahora vamos a analizar las posibilidades.
Tenga en cuenta que
$$ f(x_0) >0 \Leftrightarrow -(1-a^\frac{2}{3})^\frac{3}{2} + b>0 \Leftrightarrow b>(1-a^\frac{2}{3})^\frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow a^\frac{2}{3}+ b^\frac{2}{3} -1 >0 \Leftrightarrow A >0.$$
Así
Si $f(x_0) > 0$ ($A>0$), a continuación, $a\tan x +b$ $\sin x$ no tienen intersección ($f(x_0) >0$), $f(x)$ sólo tiene dos raíces en $[0, 2\pi[$$g(x)$.
Si $f(x_0) =0$ ($A = 0$), a continuación, $a\tan x +b$ $\sin x$ son tangentes a $x_0$, $f(x)$ tiene una doble raíz en $[0,\frac{\pi}{2}]$ (una doble raíz y dos claramente diferenciados en $[0, 2\pi[$) y $g(x)$.
Si $f(x_0)<0$ ($ A < 0)$, a continuación, $a\tan x +b$ $\sin x$ tiene dos intersecciones, $f(x)$ tiene sólo dos distintas raíces en $[0,\frac{\pi}{2}]$ (cuatro distintas raíces en $[0, 2\pi[$) y $g(x)$.
