El tiempo mínimo para que un estado cuántico a evolucionar a un estado ortogonal

Question

Estoy leyendo este papel por Margolus y Levitin

La velocidad máxima de la dinámica de la evolución: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9710043

acerca de los llamados Margolus-Levitin teorema. Para el principal resultado, básicamente, de que toma un estado $$\left|\psi_t\right\rangle=\sum_nc_n\,e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}\left|E_n\right\rangle$$ y encontramos que el valor más pequeño de $t$ tal que $S(t)=\left\langle\psi_0\big|\psi_t\right\rangle=0$ donde $\left|\psi_0\right\rangle=\sum_nc_n\left|E_n\right\rangle$, es $$t=\frac{h}{4E}$$ where $E=\sum_n\left|c_n\right|^2E_n$ es el promedio de la energía.

Conseguir este usando la desigualdad $$\mathrm{Re}(S)-\frac{2}{\pi}\mathrm{Im}(S)\geq1-\frac{2E}{\pi\hbar}t$$ (de hecho, hay una señal de error en la última línea de su expresión (8)) que se obtuvo con el $$\cos{x}+\frac{2}{\pi}\sin{x}\geq1-\frac{2}{\pi}x$$ válido para $x\geq0$, y, a continuación, que acaba de tomar $t$ tal que $S(t)=0$.

Lo que es especial acerca de esta desigualdad? Sólo parece haber salido de la nada. Es razonable que debe incluir tanto la real y la imaginaria de $S$, pero ¿por qué no acaba de tomar $\mathrm{Re}(S)+\mathrm{Im}(S)$ sobre el lado izquierdo, por ejemplo, o por qué no, cualquier otra combinación lineal de cualquier tipo; también, lo que es especial acerca de la RHS?

Así que, aparte de estos detalles, me gustaría saber cómo obtener este resultado de una manera más sistemática, o en cualquier caso, ¿cómo es el procedimiento por el Margolus y Levitin se justifica ni se explica con más detalle.

Answer 1

Me tomó un tiempo para averiguar, incluso a pesar de que era obvio desde el principio que debe ser ridículamente simple. Me recordó a la de la (in)famoso pregunta sobre el avión y la cinta transportadora en ese sentido. La parte más larga fue de averiguar por qué tenemos que maximizar el tiempo a pesar de que se supone que debemos buscar el mínimo de tiempo. Supongo que es porque no estoy acostumbrado a el concepto de un apretado desigualdad.

Vamos a considerar la desigualdad de $\cos x \ge b - cx - a\sin x$ donde $x=\frac{E}{\hbar}t$. Lo importante aquí es que el $x$ es proporcional a $t$, por lo que nos puede olvidarse $t$ durante un tiempo para concentrarse en $x$ a simplificar nuestras fórmulas.

Por supuesto, como en Marzo, señaló en el comentario, podemos tomar algunas arbitrariamente grande, el valor de $c$ y obtiene, por ejemplo, $\cos x \ge 1 - 1000 x - \sin x$, y de ello se sigue que $x \ge \frac{1}{1000}$ entonces. O podríamos $c=10000$ y obtener aún más pequeño $x$. Pero ese no es nuestro objetivo aquí! No estamos buscando una desigualdad de la forma $x \ge x_0$ donde $x_0$ es algunos arbitrariamente pequeño número. Si ese es el caso, no tendríamos ni siquiera tiene que preocuparse de escribir complicadas de las desigualdades. Podríamos simplemente decir $x \ge 0$ y hacer con ella. Pero que ciertamente no significa que $t=0$ es el momento más temprano posible cuando el estado $\left | \psi_0 \right\rangle$ puede evolucionar a una ortogonal estado. Esto sólo significaría que el tiempo de $t_0$ cuando ocurre satisface la $t_0\ge0$ la desigualdad, que es trivial.

Lo mismo va para los otros valores pequeños de a $x_0$. De hecho, es bastante obvio que si podemos demostrar que $x \ge x_0$ algunos $x_0$, entonces sería cierto que $x \ge x_0^{\prime}$ cualquier $x_0^{\prime}<x_0$. Por otro lado, no podemos afirmar que si tomamos un número $x_0^{\prime\prime}>x_0$, $x\ge x_0^{\prime\prime}$ va a ser verdad.

De ello se desprende que estamos buscando lo más grande posible,$x_0$, de modo que $x \ge x_0$ es cierto. O podemos decir que estamos buscando es la más restrictiva de la desigualdad de la $x$, o simplemente un apretado desigualdad. La lógica aquí es que es la desigualdad que contiene el máximo de información posible. ¿Cuál es el radio de la Tierra? Si no sabemos exactamente lo que podemos decir que es más de 1 milímetro o más de 1 metro. Cuál de las siguientes afirmaciones contienen más información? Obviamente, el último. Si nos dicen que es más de 6000 km, vamos a estar dando más información.

Esto significa esencialmente que la desigualdad debe girar sobre la igualdad para algunos valores de $x$ porque una vez que llegamos a ese punto, no podemos acercarnos sin que se rompa en algunos puntos. Además, puesto que tanto $\sin x$ $\cos x$ desaparecen cuando se sustituye la parte real e imaginaria, lo que vamos a obtener al final va a ser $0 \ge b-cx$ o $x \ge \frac{b}{c}$. Eso significa que debemos tratar de maximizar $\frac{b}{c}$, mientras que el mantenimiento de la desigualdad apretado al mismo tiempo. Por lo tanto, se debe buscar el mayor número posible de $b$ y la más pequeña posible,$c$.

Vamos a sustituir $x=0$ en la desigualdad

$$\cos x \ge b - cx - a \sin x.$$

Tenemos $b\le 1$, todos los demás parámetros de desaparecer. Obviamente, la desigualdad se mantiene fiel para cualquier $b<1$, pero estamos buscando el mayor $b$, y es obvio que la desigualdad se obtiene violado en $x=0$ cualquier $b>1$, lo $b=1$ es nuestro mejor resultado. Tenga en cuenta que la desigualdad se convierte en la igualdad en ese punto.

Ahora estamos buscando a $a$$c$. Y estamos tratando de minimizar $c$, recuerda! Pero no estamos realmente se preocupan por $a$ mientras la desigualdad se cumple. Esto nos lleva a pensar acerca de otros valores de $x$ donde $a$ no importa. Ya hemos comprobado $x=0$, así que vamos a considerar $x=\pi$ ahora:

$$-1 \ge 1 - c \pi.$$

Esto nos da $c \ge \frac{2}{\pi}$. Obviamente el mínimo de tales $c$$\frac{2}{\pi}$. Tenga en cuenta que, de nuevo, la desigualdad se convierte en la igualdad en ese punto también.

Ahora sólo tenemos que elegir cualquier valor de $a$ de manera tal que la desigualdad sigue siendo válido para todos los $x \ge 0$. Dado que la desigualdad se convierte en la igualdad de la $x=\pi$ donde $\sin x$ pasa de positivo a negativo, lo que sigue es que debemos asegurarnos de que $\cos x + a \sin x$ no cruzar $1 - \frac{2}{\pi} x$$x=\pi$, $1 - \frac{2}{\pi} x$ es la tangente a $\cos x + a \sin x$ en ese punto. Por lo que los diferencia, obtenemos

$$-\sin x + a \cos x = -\frac{2}{\pi}.$$

Para $x=\pi$, esto nos da la $a=\frac{2}{\pi}$. El siguiente gráco ilustra cómo desviarse de este valor se rompe cosas:

En suma, estábamos buscando el mayor $\frac{b}{c}$ de manera tal que la desigualdad se cumple. Si tomamos $b$ mayor que 1, se rompería en $x=0$, de modo que una restricción. A continuación, vamos a comprobar que para $x=\pi$ mayor $c$ $\frac{2}{\pi}$ o de lo contrario se rompería en ese punto. Y, por último, que nos da el valor de $a$ lo que no puede apartarse sin cruzar la $1-\frac{2}{\pi}$ línea.