Evaluar $\int _0 ^ \pi \frac{x}{1+\sin^2(x)} dx $

Question

Encontrar el valor de $$\int _0 ^ \pi \dfrac{x}{1+\sin^2(x)} dx $$

He intentado usar el $\int_a ^bf(x) dx=\int_a^b f(a+b-x)dx$

$\displaystyle \int _0 ^ \pi \dfrac{x}{1+\sin^2(x)} dx=\int _0 ^ \pi \dfrac{\pi-x}{1+\sin^2(x)} dx=I$

Yo no podía seguir con eso!

Answer 1

Ahora agregue las dos integrales para obtener $$2I=\pi\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\sin^2x}=\pi\int_{0}^{2\pi}\frac{dy}{3-\cos y},\tag{1}$$ donde se utilizó $\cos2x=1-2\sin^2x$ y el cambio de las variables de $y=2x$ para obtener la segunda igualdad. La última integral en (1) se puede calcular fácilmente por los residuos (de hecho las integrales de este tipo son la mayoría de los estándares y aplicación directa del teorema de los residuos), de modo que finalmente $$I=\frac{\pi^2}{2\sqrt{2}}.$$

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Agregado: (el cálculo de (1) sin residuos) El cambio de las variables de $t=\tan x$ permite escribir $$\sin^2x=\frac{t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{dt}{1+t^2},$$ así que \begin{align} \int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\sin^2x}=2\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\sin^2x}=2 \int_0^{\infty}\frac{dt}{1+2t^2}=\sqrt{2}\Bigl[\arctan(t\sqrt{2})\Bigr]_{0}^{\infty} =\frac{\pi}{\sqrt{2}}. \end{align}

Answer 2

Ahora, tenga en cuenta que $$ \left( \displaystyle\int_0^\pi \dfrac {\pi}{1+\sin^2(x)} \, \mathrm{d}x \right) - I = I \implies I = \dfrac {\displaystyle\int_0^\pi \dfrac {\pi}{1+\sin^2(x)} \, \mathrm{d}x}{2}. $$

Trate de encontrar a $ \displaystyle\int_0^\pi \dfrac {1}{1+\sin^2(x)} \mathrm{d}x $.

Answer 3

Usted está casi allí

$$2I=I+I= \displaystyle \int _0 ^ \pi \dfrac{x}{1+\sin^2(x)} dx+\int _0 ^ \pi \dfrac{\pi-x}{1+\sin^2(x)} dx=\pi\int _0 ^ \pi \dfrac{1}{1+\sin^2(x)} dx$$

La última integral se puede calcular con la sustitución de $t =\tan(\frac{x}{2})$ o por escrito, $\sin(x)=\frac{1}{\csc(x)}$ (pero hay que tener cuidado como $\csc(x)$ no está definido en $0, \pi$).

Answer 4

$I$ =$\int _0 ^ \pi \dfrac{x}{1+\sin^2(x)} dx$

también se $\int _0 ^ \pi \dfrac{\pi-x}{1+\sin^2(x)} dx=I$

añadir ambos a conseguir, $2I$ = $\int _0 ^ \pi \dfrac{\pi}{1+\sin^2(x)} dx$

Y MÁS RESOLVERLO.