CW complejo de un producto

Question

Otro que ha estado molestando:

Decir $X$ es de un número finito de CW complejo. ¿Cuál es el más simple de CW estructura en $S^n \times X$

Así que supongo que $E$ es de la familia de las células en $X$ $\Phi = \{ \Phi_e:e \in E \}$ es de la familia de fijación de mapas (técnicamente supongo que $\Phi_e | S^{k-1}$ es la fijación de mapa de una $k$-célula).

Creo que si me tome la costumbre de CW de la estructura de la $n$-esfera (1 0-célula, $e^0_s$ 1 $n$-cell $e^n_s$) que el de la familia de las células de la $E'$ $S^n \times X$ es sólo $E'=\{ e^0_s \times e, e^n_s \times e: e \in E \}$

Pero estoy seguro de cómo adjuntarlo? Supongo que en realidad sólo necesita preocuparse en los casos que estamos colocando un 0-célula y un $n$-celular, cosa que sólo puede usar los habituales mapas.

Escribir en el celular de la cadena de complejos no es tan malo - se acaba de tener una copia extra de $\mathbb{Z}$ $0$- th y $n$-ésima posición.

Podemos entonces calcular el $H_k(S^n \times X)$ en términos de $H_k(X)$? (De nuevo, el límite de fórmulas que sólo el cambio en el $0$-th y $n$-ésimo caso

Edit: Y podemos hacerlo sin la Kunneth fórmula?

Answer 1

Aquí es una buena solución que se acaba de mostrar:

El uso de la retracción $r:X \times S^n \to x \times \{ x_0 \}$ $(x,s) \mapsto (x,x_0)$ junto con los ARCHIVOS de los par $(X \times S^n, X \times \{ x_0 \})$ $$H_k(X \times S^n) \simeq H_k(X \times \{ x_0 \} ) \oplus H_k(X \times S^n, x \times \{ x_0 \} )$$

A continuación, tome $S^n$ como el límite inferior y superior del hemisferio, $D^n_+$ $D^n_-$ $D^n_+ \cap D^n_- \sim S^{n-1}$ tal que $x_0 \in D^n_+ \cap D^n_-$. A continuación, utilice una relación de Mayer-Vietrois secuencia con los sets

$A = X \times D^n_+$

$B = X \times D^n_-$

$C = D = X \times \{ x_0 \}$

para obtener $$H_K(X \times S^n,X \times \{ x_0 \} ) \simeq H_{k-1}(X \times S^{n-1}, x \times \{ x_0 \} )$$

Repetir este y uso de la escisión a obtener

$$H_K(X \times S^n,X \times \{ x_0 \} ) \simeq H_{k-n}(X)$$

La combinación de la anterior obtenemos

$$H_k(X \times S^n) \simeq H_k(X) \oplus H_{k-n}(X)$$ exactamente como @user8268 dice

Bueno!