Resto al dividir por $33\cdot 34\cdot\ldots\cdot 39$ es mayor que $100000$

Question

Dada una $54$ -Número de un dígito compuesto sólo por unos y ceros. Demuestra que el resto al dividir este número por $33\cdot 34\cdot\ldots\cdot 39$ es mayor que $100000$ .

El número puede escribirse como $\sum_{i\in S} 10^i$ donde $S\subseteq\{0,1,2,\ldots,53\}$ y $53\in S$ . El número $33\cdot 34\cdot\ldots\cdot 39$ es igual a $77519922480$ . ¿Cómo se puede determinar el resto al dividir $10^i$ por este número?

Answer 1

Desde $7\cdot11\cdot13=1001$ y $3^3\cdot37=999$ tenemos

$$d=33\cdot34\cdot35\cdot36\cdot37\cdot38\cdot39=2^4\cdot3\cdot5\cdot17\cdot19\cdot999\cdot1001=77520\cdot999999\;.$$

Dejemos que $n$ ser un $54$ -número de dígitos. Dividir $n$ en nueve $6$ -de dígitos, $n_0,\ldots,n_8$ de derecha a izquierda. Piensa en cada trozo como una base de dígitos $10^6$ Entonces

$$n=\sum_{k=0}^810^{6k}n_k\;.$$

Dejemos que $m=\sum_{k=0}^8n_k$ ; $n\ge 10^{53}$ Así que $n_8\ge 100000$ y $100000\le m\le 999999$ . Además, no es difícil demostrar que $n\equiv m\pmod{999999}$ . (Esto es sólo la prueba de divisibilidad por $9$ pateado de base diez a base un millón).

Dejemos que $n=dq+r$ , donde $0\le r<d$ . Entonces $n=999999(77520q)+r$ Así que $r\equiv n\equiv m\pmod{999999}$ y se deduce inmediatamente que $r\ge 100000$ .