¿Es cierto que si una función es integrable de Riemann, entonces es integrable de Lebesgue con el mismo valor? Si es cierto, ¿cómo demostrarlo? Si es falso, ¿cuál es el contraejemplo?
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PhoemueX
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Si se trata de adecuado Integrales de Riemann, es decir $f : [a,b] \to \Bbb{R}$ es acotado y el intervalo $[a,b]$ es compacto entonces esto es cierto.
EDIT: En lo que sigue, todas las integrales $\int \dots \, dx$ deben entenderse como la integral de Riemann $\int_a^b \dots \, dx$ . Todas las integrales $\int \dots \, d\lambda(x)$ deben entenderse como la integral de Lebesgue $\int_{[a,b]} \dots \, \lambda(x)$ .
Para una prueba, utilice que hay secuencias $(\varphi_n)_n$ y $(\psi_n)_n$ de Riemann funciones de paso tales que $\varphi_n \leq f \leq \psi_n$ y
$$\int \varphi_n \, dx \to \int f \, dx \leftarrow \int \psi_n \, dx.$$
Dependiendo de su definición exacta de la integral de Riemann, esto es una consecuencia directa, o una consecuencia fácil de la definición.
Al cambiar a $\max\{ \varphi_1, \dots, \varphi_n \}$ y $\min\{\psi_1, \dots, \psi_n\}$ podemos suponer, por ejemplo, que las secuencias $(\varphi_n)_n$ y $(\psi_n)_n$ aumentan/disminuyen.
Sobre las funciones escalonadas de Riemann $\gamma : [a,b] \to \Bbb{R}$ la integral de Lebesgue y la integral de Riemann coinciden (¿por qué?). Por lo tanto,
$$ \int |\psi_n - \varphi_n| \, d\lambda(x) = \int \psi_n - \varphi_n \, dx \to \int f\, dx - \int f \, dx = 0. \qquad (\dagger) $$
Por monotonicidad, también $\varphi_n \to \varphi$ y $\psi_n \to \psi$ en punto con $\varphi_1 \leq \varphi \leq f \leq \psi \leq \psi_1$ .
Por convergencia dominada,
$$ \int |\psi_n - \varphi_n| \, d\lambda(x) \to \int |\psi - \varphi| \, d\lambda(x). $$
Por $(\dagger)$ obtenemos $\int|\psi- \varphi|\, d\lambda(x) = 0$ y por lo tanto $\psi = \varphi$ casi en todas partes.
Debido a $\varphi \leq f \leq \psi$ obtenemos $f = \varphi = \psi$ casi en todas partes, por lo que $f$ es medible por Lebesgue con
$$ \int f \, d\lambda(x) = \int \psi \, d \lambda(x) = \lim_n \int \psi_n \, d\lambda = \lim \int \psi_n \, dx = \int f \, dx. $$
Esto completa la prueba.
Para incorrecto integrales de Riemann, la afirmación es falsa, sin embargo, ya que (véase la respuesta de Peter) el ejemplo de $$\frac{\sin(x)}{x}$$ espectáculos.
La cuestión aquí es que la integrabilidad de Lebesgue de $f$ implica la integrabilidad de $|f|$ mientras que para la integral de Riemann (impropia) puede ocurrir que $f$ es integrable, aunque $|f|$ no lo es.
Por último, se puede incluso demostrar (utilizando una variante de la prueba anterior) que una función acotada $f : [a,b] \to \Bbb{R}$ es integrable de Riemann si y sólo si el conjunto de discontinuidades de $f$ es un conjunto de medida de Lebesgue cero.
