Encontrar fórmulas explícitas para$v$$\sigma$, de modo que $u(x,t)=v(x-\sigma t)$ es una onda solución de la ecuación de difusión no lineal
$$u_t-u_{xx}=f(u)$$
donde
$$f(z)=-2z^3+3z^2-z$$
y se supone que $\lim_{s\to+\infty}v(s)=1$, $\lim_{s\to-\infty}v(s)=0$ y $\lim_{s\to\pm\infty}v'(s)=0$.
Aquí es lo que tengo hasta el momento:
tenemos $u_t=-\sigma v'(x-\sigma t)$$u_{xx}=v''(x-\sigma t)$, por lo que volver a escribir la ecuación tenemos
$$v''+\sigma v'+f(v)=0$$
Esto significa
$$v''v'+\sigma(v')^2+v'f(v)=0$$
Por lo tanto
$$\sigma(v')^2=-v''v'-v'f(v)$$
La integración de ambos lados tenemos
$$\sigma\int_{-\infty}^{\infty}(v'(s))^2ds=-\int_{-\infty}^{\infty}v''(s)v'(s)ds-\int_{-\infty}^{\infty}v'(s)f(v(s))ds.$$
Mediante el uso de los supuestos $\lim_{s\to+\infty}v(s)=1$, $\lim_{s\to-\infty}v(s)=0$ y utilizar el cambio de variable $y=v(s)$ hemos
$$\int_{-\infty}^{\infty}v'(s)f(v(s))ds=\int_0^1f(y)dy=0$$
De $\lim_{s\to\pm\infty}v'(s)=0$ hemos
$$\int_{-\infty}^{\infty}v''(s)v'(s)ds=0$$
Así
$$\sigma\int_{-\infty}^{\infty}(v'(s))^2ds=0$$
En este punto no puedo proceder. Cualquier sugerencias son bienvenidas. Gracias.
