Definición del movimiento Browniano

Question

La manera que tengo entendido la definición de un movimiento Browniano $B_t$ $\mathbb R$ es que se compone de dos partes:

1. Primero definiremos lo finito-dimensional de las distribuciones de $$\nu_{t_1,\dots,t_n}(A_1,\dots,A_n)$$ Desde que satisfacer dos propiedades de Kolmogorov extensión del teorema existe una probabilidad de espacio $(\Omega,\mathscr F,\mathsf P)$ y un proceso estocástico $X$ tal que $$\nu_{t_1,\dots,t_n}(A_1,\dots,A_n) = \mathsf P\{X_{t_1}\en A_1,\dots,X_{t_n}\en A_n\}.$$
2. En segundo lugar, afirmamos que las trayectorias de este proceso tiene que ser continuo con una probabilidad de $1$. Dicha demanda puede ser satisfecha ya que mediante la prueba de Kolmogorov continuidad teorema es continua, la versión $Y$ de un proceso de $X$ con tales finito-dimensional distribuciones $\nu$.

Lo que no está claro es el siguiente: en el primer paso ya hemos definido el proceso estocástico $X$. Qué vamos a hacer en el segundo paso? Todavía nos quedamos en el mismo espacio de probabilidad (ya que tenemos que definir lo que hace la versión media). Así que, ¿significa que finito-dimensional de las distribuciones de $Y$ son diferentes de la de $X$? Si ellos no son diferentes, no significa que $X=Y$ (teniendo en cuenta como medibles función de$\Omega$$\mathbb R$) o significa que el test de Kolmogorov extensión del teorema de no proporcionar la singularidad?

Answer 1

Tenga en cuenta que aquí, "procesos estocásticos" se refiere a un conjunto de variables aleatorias indexadas por los reales no negativos: $X = \{X_t : t \in [0,\infty)\}$. Prueba de Kolmogorov extensión del teorema garantiza la existencia de un conjunto con el que desee finito-dimensional de las distribuciones. En particular, el proceso de $X$ independiente normal incrementos.

Por la continuidad, nos deseo de producir un conjunto medible $E \subset \Omega$ $P(E) = 1$ tal que para cada a $\omega \in E$, la función de $[0,\infty) \ni t \mapsto X_t(\omega) \in \mathbb{R}$ es continua. Desafortunadamente, es posible que para el $X$ suministrado mediante la prueba de Kolmogorov extensión del teorema, no $E$ existe. (El MO post enlazado por Henry comentario da un ejemplo de un proceso con el mismo finito-dimensional de distribución como el movimiento Browniano, que carece de continuidad.)

Entonces pasamos a una versión $Y$$X$. Esto significa que $Y = \{Y_t : t \in [0,\infty)\}$ es un conjunto diferente de variables aleatorias con la propiedad de que para cada $t$, $X_t = Y_t$ casi seguramente. Para ser explícitos: para cada $t$, existe un conjunto medible $E_t \subset \Omega$ $P(E_t) = 1$ tal que para cada $\omega \in E_t$, $X_t(\omega) = Y_t(\omega)$. No hay necesidad de no ser: un único conjunto $E \subset \Omega$ $P(E) = 1$ tal que para todos los $\omega \in E$ y todos los $t$, $X_t(\omega) = Y_t(\omega)$. (Uno podría tratar de poner $E = \bigcap_{t \in [0, \infty)} E_t$, pero ya que este es un incontable de intersección, no podemos estar seguros de que $E$ tiene una medida de 1, o, de hecho, que $E$ es medible en todos.) Sin embargo, es fácil comprobar que el finito-dimensional de las distribuciones de cualquiera de dichas $Y$ son los mismos que los de $X$, y, en particular, $Y$ también tiene independiente de la normal de incrementos.

Prueba de Kolmogorov de continuidad teorema de promesas que podemos elegir un $Y$ que es continua en el sentido de mi segundo párrafo.

Tienes razón en que no hay ninguna singularidad en el primer paso: finito-dimensional distribuciones no únicamente determinan un proceso.