¿Por qué la trama del símbolo de legendre de $x^2 - y^2$ sobre un campo finito aspecto rectangular

Question

El pequeño arriba a la izquierda, es una cosa de la trama de la legendre símbolo de $x^2 - y^2$$\Bbb F_{37}$. La cosa en el medio es para la trama de $\Bbb F_{587}$. La cosa de la derecha es una parcela de la legendre símbolo de $xy$$\Bbb F_{587}$.

La pregunta es, ¿por qué hacen ( $\left(\dfrac{x^2 - y^2}{587} \right)$ $\left(\dfrac{xy}{587} \right)$ ) aspecto rectangular?

Los siguientes son parcelas de la misma sin el símbolo de Legendre. Observe la forma en que no se ven de forma rectangular.

Saludos.

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Me han notado que $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$, lo que podría explicar la similitud entre las parcelas. Pero eso no es suficiente para explicar por qué el argumento de $\left(\dfrac{xy}{587} \right)$ parece rectangular.

También, el medio de la cosa en la imagen siguiente es un gráfico de $x^2 + y^2$

y ahora tomamos los símbolos de legendre

Para $x^2 + y^2$ parece ruidoso y no rectangular.

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En respuesta a Jyrki de la cuestión, la cosa de la derecha es más de $\Bbb F_{593}$

Más ejemplos de símbolos de Legendre de $x^2 + y^2$ donde $-1$ es una ecuación cuadrática de residuos: La izquierda es mod 53. Medio es el mod 41. Derecho es mod 37.

Answer 1

He aquí lo que la univariante símbolos de Legendre $\chi(x)$ modulo 587 parece. A lo largo de la $x$-eje hay un cuadrado negro en el QRs y el resto es blanco.

Usted ve que hay gran parte de bandas blancas y en gran medida de las bandas negras. Al trazar $\chi(xy)=\chi(x)\chi(y)$ las bandas se convierten en (casi) monocromática regiones en el 2D-plot. Debido a $\chi(x^2-y^2)=\chi(x-y)(x+y)$ obtener el mismo casi monocromática regiones, pero girado 45 grados, porque en este tiempo los factores son constantes a lo largo de las líneas con pendientes $\pm1$.

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Debido a $-1$ es un NQR modulo $587$ lo que no se puede escribir en la forma $x^2+y^2$ como producto de dos lineal de las formas. Por lo tanto, estas regiones no aparecen cuando se trazan $\chi(x^2+y^2)$ modulo $587$.

Una sugerencia: Modulo $p=593$ tenemos que $-1$ es una ecuación cuadrática de residuos como $77^2\equiv-1\pmod{593}$. Por lo tanto $$x^2+y^2\equiv (x+77y)(x-77y)\pmod{593}.$$ Será que esos casi monocromática regiones reapper, si se hace una gráfica de $\chi(x^2+y^2)$ modulo $593$? Que $77$ puede ser demasiado torpe una pendiente de presentación :-)

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Cuando se deja fuera el símbolo de Legendre, los cambios se hacen más gradual. Que puede ser todo lo que usted necesita para eliminar esos rectángulos.