La intuición detrás de dependencia funcional

Question

¿Qué es la intuición detrás de independencia funcional ?

(Esto se define de la siguiente manera: Vamos a $k\leq n$. El $C^1$ funciones $F_1,\ldots,F_k:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ son independientes si la matriz cuyas columnas son los gradientes $\nabla F_1,\ldots,\nabla F_k$ tiene rango completo, es decir, el rango $k$, en todo el dominio de definición.

De lo que deduzco de esta respuesta, esto es lo mismo que decir que $F:=(F_1,\ldots,F_k):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^k$ es la inmersión, pero eso no me ayuda mucho, porque yo también no tienen ninguna intuición sobre inundaciones.)

Entonces, ¿qué realmente significa que si las funciones son funcionales independiente - o, por el contrario, dependiente ? Es allí, en el último caso, entonces, también una relación como $g(\nabla F_1,\ldots,\nabla F_k)=0$ - o tal vez como $g(F_1(x),\ldots F_k (x))=0$ algunos $x$ -- $g$ van en algunas conjunto específico, similar al caso de independencia lineal ( en el que $g$ sería a partir del conjunto $\{g:\mathbb{R}^k\rightarrow \mathbb{R}:g(x_1,\ldots,x_k)=\sum \lambda_i x_i \text{ for some nonzero } \lambda_i \in \mathbb{R}\}$).

Answer 1

La dependencia funcional de $k$ dadas las funciones $F_i:\>\Omega\to{\mathbb R}$ $\>(1\leq i\leq k)$ con dominio común $\Omega\subset{\mathbb R}^n$ significa que, intuitivamente, que no es un trivial de la función $$g:\quad{\mathbb R}^k\to{\mathbb R},\qquad y\mapsto g(y)$$ tal que $$g\bigl(F_1(x),F_2(x),\ldots, F_k(x)\bigr)\equiv 0\qquad \forall x\in\Omega\ .\tag{1}$$ "No trivial" para $g$ significa que $\nabla g(y)\ne0$ todos los $y\in{\mathbb R}^k$. Tomando la derivada de la $(1)$ vemos que $$dg\bigl(F(x)\bigr)\circ dF(x)\equiv 0\in{\cal L}({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^k)\qquad\forall x\in\Omega\ .$$ En términos de matrices, esto dice que las filas de la matriz $\bigl[dF(x)\bigr]$ son linealmente dependientes con coeficientes dados por $\nabla g\bigl(F(x)\bigr)\ne0$, para cada una de las $x\in\Omega$.

Ahora las filas de la matriz $\bigl[dF(x)\bigr]$ no son otra cosa que los gradientes $\nabla F_i(x)$. Por lo tanto, la dependencia funcional de la $F_i$ en el anterior sentido implica que los gradientes $\nabla F_i(x)$ son linealmente dependientes, en cada punto de $x\in\Omega$.

En su definición de "independencia funcional" usted no quiere siquiera una pizca de tal cosa. Por lo tanto, insisto en que en todos los puntos de $x\in\Omega$ $k$ gradientes $\nabla F_i(x)$ deben ser linealmente independientes.

Answer 2

La independencia funcional entre dos funciones significa que el nivel de juego de cada una de las funciones que cruza transversalmente el conjunto de nivel de la otra función. En el plano, esto significa que una función $f$ funcionalmente independiente de otra función de $g$ no puede ser escrito como $f=F(g)$ donde $F$ es otra función, porque en este caso, los conjuntos de nivel sería el mismo curvas, por tanto $f$$g$. Del mismo modo, en $k$ dimensiones, la independencia funcional significa que la intersección entre la $k$ $(k-1)$-dimensiones conjuntos de nivel de la $k$ funciones de un punto, no una línea o un plano, yo. e., las funciones $F_1$, $F_2$,...,$F_k$ contiene $k$ independiente de la información de su espacio ambiental, y pueden ser tomadas a nivel local como coordenadas.

Answer 3

La derivada de $F$$DF=[\nabla F_1,\cdots,\nabla F_k]^T$ ; vamos a $a\in\mathbb{R}^n$, $b=F(a)$ y $V=F^{-1}(b)$. $V$ es la intersección de la $k$ hypersurfaces $F_i(x)=b_i$. El vector normal en $a$ a una hipersuperficie es $\nabla F_i(a)\in \mathbb{R}^n$. Aquí $rank(DF_a)=k$ $W=span(\nabla F_1(a),\cdots,\nabla F_k(a))$ tiene dimensión $k$. De acuerdo con el teorema de la función implícita, en un neighborhhood de $a$, $V$ es una variedad de dimensión $n-k$ $V$ $C^1$- isomorfo a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n-k}$. Además, el espacio de la tangente de $V$ $a$ es el ortogonal de $W$.

Por ejemplo, vamos a $n=3,k=2$. $V$ es la intersección de a $2$ superficies en el estándar de espacio. Los vectores normales $u_1,u_2$ $a$ no son paralelos ; a continuación, $V$ es localmente una línea y el producto cruzado $u_1\times u_2$ es tangente a esta línea.

EDICIÓN 1. En otras palabras, una aproximación de la ecuación de $V$$DF_a(x-a)=0$, es decir, por cada $i\leq k$, $<\nabla F_i(a),x-a>=0$.

@ user36772 , acabo de leer los últimos cuatro líneas ! Usted habla sobre el caso cuando (en mi caso) el $2$ anterior normales son paralelos. A continuación, las superficies son tangentes en $a$ y no sabemos nada acerca de la intersección. En otras palabras, cuando la hipótesis de un teorema no se cumple, entonces (es sorprendente ?) el teorema de no trabajo.

EDICIÓN 2. (en respuesta a la user36772). Un conjunto de nivel es una subvariedad de codimension $1$, que es una hipersuperficie.

El espacio de la tangente a una hipersuperficie es el hyperplane que es ortogonal a un vector normal ; entonces el espacio de la tangente a $V$ es la intersección de estos hyperplanes. Desde el geométrica punto de vista, decir que el $C^1$ funciones son independientes en un barrio de $a$ es equivalente a identificar cada una hipersuperficie con su tangente hyperplane en $a$ y decir que las ecuaciones lineales asociado a estos hyperplanes son linealmente independientes. Esta propiedad es estable en el siguiente sentido: si nos movemos ligeramente nuestra hypersurfaces, entonces la intersección sigue siendo similar a la original.

Si estas ecuaciones no son linealmente independientes, entonces la inestabilidad viene al galope. Por ejemplo, considere la posibilidad de, en $\mathbb{R}^3$, $a=0, F_1=y-x^2,F_2=y-x^4$. Luego, a nivel local, la intersección de las superficies es la línea de $Oz$. Sin embargo, si se mueve una superficie, entonces la intersección puede ser localmente nulo.

Creo que también para el GPS ; necesitamos $5$ satélites. Geométricamente, la intersección de a $3$ esferas suficiente. Sin embargo, una cuarta medida, permite la sincronización de los relojes. ¿Por qué el quinto ? Porque si dos de entre los satélites están "cerca", luego de los asociados a las esferas son casi tangente y la intersección es inestable.