¿Por qué la función exponencial no está en el subespacio de todos los polinomios?

Question

La función exponencial puede escribirse como

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots.$$

El subespacio de todos los polinomios es $$\text{span}\{1, x,x^2, \dots \}$$

Claro $e^x$ ¿está en este conjunto?

Answer 1

Si $p$ es un polinomio de grado $n$ entonces el $n$ derivada de $p$ es constante. Tenga en cuenta que el $n$ derivada de $e^x$ es $e^x$ . Ahora todo lo que tienes que hacer es demostrar que $e^x$ no es constante.

Answer 2

La función $e^x$ no está en $\text{span}\{1, x,x^2, \dots \}$ porque no es una combinación lineal finita de elementos de base (sino una contable). Lo que sí es cierto es que $$e^x \in \overline{\text{span}\{1, x,x^2, \dots \}}$$ está en el cierre porque se puede encontrar una secuencia en $\text{span}\{1, x,x^2, \dots \}$ que converge a $e^x$ . Espero que te ayude :)

Answer 3

$\mathrm{span}(A)$ es el conjunto de finito combinaciones lineales de términos de $A$ . Las sumas infinitas requieren nociones de límites y plantean problemas de radios de convergencia (hay muchos polinomios infinitos que convergen sólo en un punto).