¿Cuál es la diferencia entre un funcional y un operador?

Question

¿Cuál es la diferencia entre un funcional y un operador ? Cuando definimos un operador en física, por ejemplo el operador de momento como $\hat{p} = i \frac{d}{dx}$ se dice que este operador actúa sobre las funciones de onda. ¿Pero algo que toma una función como argumento no se llama también funcional? ¿Por qué llamamos $\hat{p}$ ¿operador de momento y no funcional de momento?

Answer 1

En términos generales, un operador (que actúa sobre un espacio de funciones) lleva funciones a funciones (por ejemplo $f(x)$ a $-i f'(x)$ ). Por otro lado, un funcional lleva funciones a números (piensa en una determinada integral, o en la derivada evaluada en un determinado punto).

Answer 2

1. Un operador es un mapa (no necesariamente lineal) de un vector $^1$ espacio o módulo a otro.

   En teoría de los operadores se suele asumir implícitamente que los operadores son lineal .

   En mecánica cuántica se suele asumir implícitamente que los operadores son lineal o antilínea . (Sin embargo, véase Teorema de Wigner !)

2. A funcional es un mapa (no necesariamente lineal) de un vector $^1$ espacio en un campo .

   En los temas de cálculo de variaciones y Mecánica lagrangiana Los funcionales son típicamente no lineales.

   En análisis funcional se suele asumir implícitamente que los funcionales son lineales.

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$^1$ Esta es la definición de Wikipedia (octubre de 2016). Sin embargo, dado que el mapa no es necesariamente lineal, en general no hay razón para insistir en la estructura del espacio vectorial en primer lugar. Por ejemplo, los físicos llamarían al Acción de la WZW un funcional, aunque su dominio no es técnicamente un espacio vectorial.

Answer 3

Matemáticamente, tenemos muchas palabras que se refieren a la misma idea general: la precisa El significado de una palabra no es una definición universal, sino una convención lingüística que se desarrolla en diversas materias (y aun así no siempre es coherente).

Dicho esto, en mi experiencia (como matemático), en contextos de álgebra lineal, "funcional" se reserva casi siempre para las funciones lineales de valor escalar, y "operador" se suele utilizar para un elemento de algún tipo de álgebra cuando se pretende trabajar con representaciones de esa álgebra (por ejemplo, el álgebra de endomorfismos lineales del espacio de funciones de valor complejo sobre los reales, con su representación de actuación sobre dicho espacio de funciones).

El uso de "funcional" como significado de cualquier tipo de función cuyo dominio incluye funciones tiende a ocurrir más en dominios como la lógica formal o la informática.

Answer 4

Como otros han señalado, es sólo una cuestión de definición. Un funcional es un operador, cuya imagen es el campo de números subyacente. Me gustaría principalmente dar ejemplos a los operadores y funcionales como otros han explicado la diferencia bastante bien.

Funcionales

Supongamos que tratamos $L^2(\mathbb R)$ (es decir, las funciones cuadradas integrables sobre $\mathbb R$ ) como un $\mathbb R$ espacio vectorial. Entonces los siguientes mapas serían funcionales.

Lo más fácil (lo más aburrido) que se me ocurre es el funcional cero, es decir, mapeas cada función al número cero. $b: L^2(\mathbb R) \to \mathbb R$ , $f \mapsto 0 \in \mathbb R$ . Otro ejemplo no trivial sería el funcional integral, es decir, el mapa $I : L^2(\mathbb R) \to \mathbb R$ , $f \mapsto \int_{\mathbb R} f(x) \, \mathrm dx$ . Obsérvese que también se trata de un funcional porque tomamos la integral sobre todo el espacio, de modo que se obtiene un número al final. Otra función (más física) es la "función de energía cinética" de la mecánica clásica. Ahora es un poco radical llamar a esto un funcional, pero de hecho lo es:

$$ E :\mathbb R \times \mathbb R^3 \to \mathbb R \;, \quad (m, \vec v) \mapsto \frac m2 \vec v \cdot \vec v$$

donde tomamos $\mathbb R \times \mathbb R^3$ como $\mathbb R$ espacio vectorial.

Operadores que no son funcionales

Ahora veamos los operadores, que no son funcionales. Esta vez tomamos $C^1(\mathbb R) =: C^1$ (es decir, funciones diferenciables) como $\mathbb R$ espacio vectorial. Hay de nuevo un ejemplo trivial, que mapea cada función a la función cero (es decir. $\hat 0: \mathbb R \to \mathbb R$ , $x \mapsto 0$ nótese que la función cero es diferenciable). Este operador viene dado como $B : C^1 \to C^1$ , $f \mapsto \hat 0$ . Un operador no trivial sería el operador de traslación como en $T_a : C^1 \to C^1$ , $f(x) \mapsto f(x+a)$ para algunos fijos $a \in \mathbb R$ . Nótese que no tenemos ninguna restricción en cuanto a cuál debe ser la imagen de un operador. Así que el operador de diferenciación $D$ es un ejemplo de ello. $D: C^1 \to C^0$ , $f \mapsto \mathrm df/\mathrm dx $ ya que hay funciones que son sólo una vez diferenciables (aquí $C^0$ significa funciones continuas sobre $\mathbb R$ tomado como $\mathbb R$ espacio vectorial). El primo de la integral funcional es el operador antiderivada. Para ello tomemos las funciones continuas sobre el intervalo unitario $I:= [0,1]$ y definir el mapa de la siguiente manera:

$$ V : C^0(I) \to C^1(I) \;, \quad f(y) \mapsto F(x) := \left(x \mapsto \int_0^x f(y)\, \mathrm dy \right)$$

nota que $F(x)$ es una función por lo que la imagen del operador $V$ son funciones en lugar de números reales.

Espero que estos ejemplos te ayuden a ilustrar lo que son los operadores y los funcionales.

Answer 5

Operadores actúan entre espacios vectoriales, toman un vector (en el sentido matemático) como entrada y dan un vector como salida. Por supuesto, esos dos espacios vectoriales no tienen por qué ser los mismos, en general. Operador de momento $\hat{p}$ actúa sobre una función, que es un vector en el sentido matemático, y da como resultado otra función.

Funcionales también son operadores. De nuevo, toman un elemento de un espacio vectorial como entrada pero dan como resultado un escalar. Por escalar, me refiero a un elemento del campo subyacente (en el sentido matemático) del espacio vectorial original. En otras palabras, el campo de los coeficientes de las combinaciones lineales en el espacio vectorial. $\hat{p}$ no es un funcional porque no da un número, da una función. Los físicos a menudo utilizan un lenguaje descuidado y llaman a los funcionales funciones de las funciones . Es porque, en la práctica, suelen serlo, toman una función y dan como resultado un número. Un ejemplo sencillo sería el Hamiltoniano, toma $q(t)$ y $p(t)$ como entradas y salidas un número.