Estoy bastante familiarizado con los exponentes, sé que $y^x = y_1 \cdot y_2 \cdot y_3 .... y_x$, pero ¿y si el exponente es menor que uno, ¿cómo sería ese trabajo?
Puedo poner en mi pc $25^{1/2}$, de todos modos, esperando que me da un error, y tengo una respuesta!! Y aún más sorprendente, cuando hice esto con más números y un poco de investigación, me encontré con que $$x^{1/y} = \sqrt[y] x$$ Se trata sólo de mí, o puede exponentes de tomar el papel de raíces cuadradas?
Tienes razón de que hay algo interesante. Es cierto que $25^{1/2} = 5$ es un poco diferente a $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
Una de las razones por las que hemos elegido $25^{1/2}$ a la media de $\sqrt{25}$ va como esta.
Normal, positiva exponentes de números enteros, tenemos muy buen exponente de las leyes $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$. Por ejemplo, $3^3 \cdot 3^5 = 3^8$. Lo que si queríamos que esta ley funcione incluso cuando se utilizan los números de menos de $1$, o tal vez las fracciones entre números enteros?
Entonces querríamos $25^{1/2} \cdot 25^{1/2} = 25^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 25^1 = 25$, y así nos gustaría que $25^{1/2} = \sqrt {25}$. Esto funciona con los demás, también. Por ejemplo, $27^{1/3}$ debe satisfacer $27^{1/3} \cdot 27^{1/3} \cdot 27^{1/3} = 27^1 = 27$, por lo que el $27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3$.
Para esto también funciona para las fracciones más grande que $1$. Por lo tanto $36^{3/2}$ debe satisfacer $36^{3/2} \cdot 36^{3/2} = 36^3$, lo $36^{3/2} = \sqrt{36^3}$. Tenga en cuenta que usted también podría racionalizar esta como pensar que $36^{3/2}$ debe ser igual a $(36^3)^{1/2}$, y de verdad que funciona aquí!
De manera más general, la elección de $25^{1/2}$ a la media de $\sqrt {25}$ (y las identidades) está de acuerdo con todas nuestras reglas anteriores respecto de los exponentes, por lo que parece una opción muy natural a hacer. Y de hecho, es la elección que hacemos.
Como un aparte: se puede ampliar aún más los exponentes para expansiones decimales en lugar de fracciones, o ir más allá todavía.
Una cosa que notamos de inmediato a $b^n; n \in N$ es que el $b^nb^m = b^{n+m}$ (Esto es evidente, porque $b^n = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n\text{ times}}$$b^m = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{m\text{ times}}$, lo $b^nb^m = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n\text{ times}} \cdot \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{m\text{ times}} = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n+m\text{ times}} = b^{n+m}$).
Y que $(b^n)^m = \underbrace{b^n\cdot b^n\cdots b^n}_{m \text{ times}} = b^{n+n+...+n} = b^{n\cdot m}$.
Así que si queremos extender la definición de $b^n$, de modo que $n$ no es sólo un número natural, pero quizá $n = 0$ o $n < 0$ o $n \in \mathbb Z$ nos damos cuenta de que nos quieren definir, de manera que $b^0b^n = b^{0+n} = b^n$. Eso significa que debemos definir $b^0 = b^n/b^n = 1$. (Que realmente no han elección).
Nosotros también lo queremos así que si $0 < n < m$$b^{m-n}=b^mb^{-n}$$b^{-n} = \frac{b^{m-n}}{b^m}= \frac{b^{m-n}}{b^{(m-n)+n}} = \frac {b^{m-n}}{b^{m-n}b^n} = \frac 1 {b^n}$.
Por lo tanto debemos definir $b^{-n} = 1/b^n$. (Que realmente no tienen otra opción.)
Ahora también contamos $(b^n)^m = b^{nm}$ esto significa $ \sqrt[m]{b^{nm}} = b^n$. Esto realmente no es más que sorprendente. Después de todo $\sqrt[m]{b^{nm}} =\sqrt[m]{(b^{n})^m} = b^n$, después de todo.
Pero, ¿y si no estamos hablando de números enteros? Lo que si $\sqrt[m]{b^n} = \sqrt[m]{(b^{nm/m})}=\sqrt[m]{(b^{n/m})^m} = b^{n/m}$. ¿Hay que realizar algún sentido?
Bien, hace perfecto sentido si $m$ divide $n$ $n/m$ es un número entero.
Pero si $n/m$ .... no hemos definido lo $b^{n/m}$ significa que si $n/m$ no es un entero.
Pero, ¿por qué no definimos $b^{n/m}$ si $n/m$ no es un número entero? Si definimos $b^{n/m} = \sqrt[m]{b^n}$ que es una buena definición[@]. Y debido a nuestras reglas $(b^r)^n = b^{rn}$ que realmente no tienen otra opción. Nos debe definir de esa manera.
Por lo $a^{1/2} = \sqrt{a}$. Esto es porque si $a^{1/2} = x$$x^2 = (a^{1/2})^2 = a^{\frac 12 * 2} = a^1 = a$. Por lo $x = \sqrt{a}$.
[@] En realidad, tenemos que demostrar que si $r = m/n = p/q$ $\sqrt[n]{b^m} = \sqrt[q]{b^p}$ como resulta que es verdad. $m/n = p/q$ media $mq= np$ $\sqrt[n]{b^m} = \sqrt[q]{\sqrt[n]{b^m}^q}=\sqrt[nq]{b^{mq}} = \sqrt[nq]{b^{np}} = \sqrt[q]{\sqrt[n]{(b^p)^n}} = \sqrt[q]{b^p}$
Para los exponentes de números enteros tenemos la propiedad que $(y^a)^b = y^{ab}$ (entre otros). Con el fin de definir $y^q$ racional,$q$, queremos conservar esta propiedad. Escrito $q = a/b$ $a,b$ enteros y $b$ positivo, nos gustaría $$ (y^q)^b = (y^{a/b})^b = y^{(a/b)b} = y^a. $$ Así que nos gustaría $y^q$ $b$th raíz de $y^a$. Esto siempre existe si $y$ es positivo. Así que nos definen $$y^{a/b} = \sqrt[b]{y^a} \quad(y \ge 0).$$ A continuación, puede comprobarse que las otras propiedades de la exponenciación están satisfechos para exponentes racionales, por lo que esta es una buena definición.
$$y^x = y\cdots y$$
sólo si $x$ es un entero positivo.
En general:
$$y^x = \exp(x\log y)$$
siempre que $y >0$ (las funciones $\exp$ $\log$ puede ser definido a través de la potencia de la serie).
También uno puede demostrar que:
$$\sqrt[x]{y} = y^{1/x}$$
como se ha señalado (esto también puede ser tomado como la definición de las raíces).
Esta no es realmente una prueba, pero sólo otra forma de mirarlo.
Si se quiere elevar $a^b$ $n$th poder, es decir,$(a^b)^n$, se puede calcular este por la multiplicación de los exponentes:
$$(a^b)^n = a^{bn}.$$
Ahora, considere el caso de $n = 1/b$:
$$(a^b)^{1/b} = a^{b\cdot \frac1b} = a^1 = a.$$
Así que si me cuadrado de un número ( $b=2$ ) y, a continuación, obtener el número de vuelta después de que yo se la llevó a la $1/2$ de potencia, tiene pinta de que me tomó de la raíz cuadrada.
En términos más generales, elevar a la $1/b$th poder es la operación inversa de elevar al $b$th de energía (siempre y cuando nos mantengamos lejos de $b=0$).
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