¿Cómo encontrar $\lim_{n\to\infty}n\cdot\sin(2\pi\ e\ n!)$?

Question

¿Cuál será el valor de este límite?

$$\lim_{n\to\infty}n\cdot\sin(2\pi\ e\ n!)$$

¿Cualquier ayuda sobre cómo proceder?

Answer 1

Considerar que, a medida que aumenta el $n$, la distancia de $e n!$ del entero más cercano cae a cero, puesto que: $$ n!e=n!\cdot\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}=A+\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\ldots $ $ donde $A\in\mathbb{N}$. Esto da: $$ \{n! e\} = \frac{1}{n+1}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ $ y: $$n\sin(2\pi n! e) = n\sin\left(2\pi\left(\frac{1}{n+1}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\right),$ $ por lo que el límite es de $2\pi$.

Answer 2

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