Representación irreducible de dimensiones finitas complejas del grupo abeliano

Question

Se supone que debo mostrar que cada representación irreducible de dimensiones finitas complejas de un grupo abeliano es unidimensional.

Para cualquier mapa $ \phi : V \rightarrow V$ sostiene que $ \phi ( \rho (g)v) = \rho (g) \phi (v)$ . También desde que el grupo $ \rho (h) \rho (g) v = \rho (g) \rho (h) v$ . Por un ejercicio anterior sé que $ \phi = \lambda \cdot id_V$ para algunos $ \lambda \in \mathbb {C}$ . Esto transforma la ecuación anterior en $ \lambda \cdot id_V \cdot ( \rho (g)v) = \rho (g) \lambda \cdot id_V \cdot v$ lo que implica que $ \lambda \cdot id_V \cdot ( \rho (g)v) = \lambda \cdot \rho (g) \cdot v$ . Ahora no estoy muy seguro de cómo poner en juego eso $G$ es abeliana. ¿Podría alguien darme una pista?

¡Salud!

Answer 1

Arreglemos un poco las cosas.

Deje que $ \rho : G \to \operatorname {GL}(V)$ ser una representación irreducible de cualquier grupo $G$ .

Has visto que si $ \varphi : V \to V$ viaja con todos $ \rho (g)$ para $g \in G$ , que es $$ \varphi ( \rho (g) v) = \rho (g) \varphi (v) \tag {comm} $$ para todos $g \in G$ y $v \in V$ , entonces $ \varphi = \lambda \operatorname {id}_{V}$ para algunos $ \lambda \in \mathbf {C}$ .

Ahora si $G$ es abeliano que tenemos $ \rho (x) \rho (g) = \rho (g) \rho (x)$ para todos $g, x \in G$ para que $ \varphi = \rho (x)$ satisface (comm).

De ello se deduce que para cualquier $x \in G$ hay $ \lambda \in \mathbf {C}$ de tal manera que $$ \rho (x) = \lambda \operatorname {id}_{V}, $$ así que todos $ \rho (x)$ son escalares, y luego dejan invariables todos los subespacios.

Ya que la representación es irreducible, $V$ debe tener una dimensión $1$ entonces.

Answer 2

Como un enfoque alternativo:
Ya que todos los homomorfismos de un grupo abeliano $G$ a $C^*$ son caracteres irreductibles de $G$ y hay $|G|$ muchos de estos, a fuerza de relaciones de ortogonalidad concluimos que todos ellos son personajes irreductibles de $G$ y por lo tanto todas las representaciones irreductibles de $G$ son de dimensión $1$ .
Infórmeme de cualquier error. Gracias.

Answer 3

Para variar, he aquí un argumento teórico.

Para un grupo abeliano finito y un campo algebraicamente cerrado $k$ , $R:=kG \cong k^{|G|}$ como los anillos de Artin-Wedderburn.

[ $R \cong\prod_iM_ {n_i}(D_i)$ es un producto finito de los anillos de la matriz sobre los anillos de división, $D_i \cong\operatorname {End}_R(V_i)$ un anillo de división (de dimensiones finitas sobre $k$ ), $V_i$ pasa por encima de las clases de isomorfismo de la izquierda simple $R$ -módulos, $n_i$ su multiplicidad en $R$ como un módulo izquierdo sobre sí mismo].

De ahí las dimensiones de la izquierda simple $R$ -los módulos deben ser todos uno [ya que $R$ es conmutativo, $n_i=1$ y $D_i$ es un campo, porque $k$ está cerrado algebraicamente, $D_i=k$ ].