Encontrar la serie de encendido de $x\ln(1-x)$.

Question

Por lo que el ejercicio que tenía que hacer era: Encontrar el poder de representación de $x\ln(1-x)$. El camino a seguir era encontrar la potencia de la serie representación de $\ln(1-x)$ y, a continuación, multiplicar $x$. Pero ¿por qué no puedes encontrar primero la derative de $x\ln(1-x)$ $x/(1-x) + \ln(1-x)$ y, a continuación, tomar el poder de la serie de los dos. Y, a continuación, encontrar la antiderative de que. Porque cuando se pide encontrar la potencia de la serie representación de $\ln(1-x)$, usted tiene que encontrar primero derivados de este, a continuación, convertirlo en serie y, a continuación, encontrar la antiderivada de esta serie. Así que ¿por qué no puedo hacer lo mismo con $x\ln(1-x)$..? Así que ¿por qué no puedo aplicar el mismo método? ¿Por qué no puedo resolver este ejercicio en la misma forma, por primera búsqueda de la derivada, a continuación, convertirlo en una potencia de la serie y, a continuación, la integración?

Hice $f(x)= x\ln (1-x)$

$f^\prime(x) = -x/(1-x) + \ln(1-x)$

Yo ya sabía $\ln(1-x)= Σ-(1/n) x^{n+1}$ (n=0)

Esta en el poder de la serie da $-x\sum x^n + \sum -1/n x^{n+1}$ (n=0)

Esto le da a $\sum-x^{n+1} + \sum-(1/n) x^{n+1}$ Ahora puedo integrar y obtener $\sum-(1/(n+2)) \cdot x^{n+2} + \sum-1/n \cdot 1/(n+2) x^{n+2} $

Answer 1

Sugerencia

Empezar con $$\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^{\infty}x^i$$ and integrate with respect to $x $. You then have $$\log(1-x)=-\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i}$$ So, $% $ $x^n \log(1-x)=-\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^{n+i}}{i}$

Agregado más adelante a esta respuesta

Si desea comenzar con el derivado y luego integrar, no hay ningún problema. Si $$f(x)=x\log(1-x)$$ $$f'(x)=\log (1-x)-\frac{x}{1-x}$$ So, use the expansion of $\frac{1}{1-x}$, muliply each term by $x$ and substract all of that from the expansion of $\log (1-x) $. You end with $ $f'(x) =-2 x-\frac {3 x ^ 2} {2}-\frac {4 x ^ 3} \frac {3} {5 x ^ 4} \frac {4} {6 x ^ 5} \frac {5} {7 x ^ 6} {6} + O\left(x^7\right) $$ Now, integrate wrt $x$ para el mismo resultado.