¿Se puede escribir cada integral indefinida de una función discontinua de una manera que "prueba" algo falso?

Question

Acabo de ver la siguiente prueba falsa.

$$\int \frac1x dx =\int 1\cdot \frac1x dx=x\frac1x+\int x \frac1{x^2} dx = 1+ \int \frac1x dx$$

Lo cual implicaría $1=0$, por lo tanto la prueba falsa etiqueta.

La explicación dada fue que hubo una discontinuidad en la función que se nos fueron, en esencia, "integración", sin embargo, la integral indefinida no somos tan explícitamente la integración de más de nada (o tal vez la integración por encima de todo?).

Cualquier función con una discontinuidad ser explotable de esta manera? Realmente podríamos resolver el problema mediante la conversión de la integral de una integral definida en una región que no hay discontinuidad? Creo que el truco usado todavía funciona, o no estoy seguro de por qué esto proporcionaría un resultado que tengan sentido.

Answer 1

No estoy de acuerdo con alexqwx. Su respuesta es engañosa. No hay ninguna constante de integración generados en la integración por partes hasta que la integración se produce realmente. A la respuesta anterior, tampoco hace mención de que la falacia se produce cuando restando las integrales indefinidas y no debido a la falta de una constante de integración.

No hay ninguna razón para escribir $\int \frac{1}{x}dx=1+\int \frac{1}{x}dx +C$. El error está en asumir la $\int \! f\, dx - \int\! f\, dx = 0$ cuando, en realidad, $\int \! f\, dx - \int\! f\, dx = \int \! 0 \, dx = C.$

No hay nada de malo con la declaración de $$\int \frac1x dx =1+ \int \frac1x dx,$$

sólo la conclusión obtenida a través de ella. Es sólo una prueba de que $1$ es constante. Si usted decide en este punto agregar los límites a su integral a encontrar

$$\int_a^b \frac1x dx =1_a^b+ \int_a^b \frac1x dx$$

$$\int_a^b \frac1x dx = \int_a^b \frac1x dx$$

Debido a $1_a^b = 1 - 1 = 0$.

De nuevo:

$$\int \frac1x dx =1+ \int \frac1x dx$$

$$\int \frac1x dx - \int \frac1x dx =1$$

$$\int \frac1x - \frac1x dx = 1$$

$$\int 0\, dx = 1 $$

$$C = 1$$

La falacia se produce cuando restando el indefinido integrales, no con nada de lo mencionado por alexqwx.

Answer 2

Integral indefinida de f es un conjunto de todas las funciones F que $F'=f$. Que todo diferente por la constante aditiva. Y de hecho establece $\{F: F'=\frac{1}{x}\}$ y $\{F + 1: F'=\frac{1}{x}\}$ son los mismos.

Answer 3

Se me acaba de ocurrir que ninguna de las respuestas aquí, a pesar de que la crítica de la "prueba" y el "razonamiento" de por qué la prueba es malo, realmente responder a la pregunta como se indica en el título, en la que se puede obtener una defectuosa "prueba" de una función con la integración no importa lo que la función? La "discontinuidad" requisito ha demostrado ser superfluo, pero la pregunta que me mención permanece, y es legítimo. Así que para una función general, podemos reescribir la integral, de tal manera como para "probar" algo falso, el uso de validez de las transformaciones de las integrales, pero al final una falacia (pero aparentemente "sensible") paso?

Mientras que una investigación exhaustiva de todas las técnicas de integración parece ser difícil, se puede investigar la integración por partes. La fórmula de integración por partes es

$$\int u\ dv = uv\ – \int v\ du$$

Para obtener una falacia de la forma que se muestra en el post original, tenemos que

$$\int u\ dv = -\int v\ du$$

lo que implica

$$u\ dv = -v\ du$$

o

$$u = -v \frac{du}{dv}$$

que es una ecuación diferencial para $u$ con solución de $u = K/v$ donde $K$ es una constante. Tenga en cuenta que en el ejemplo dado, $u = 1/x$, $dv = dx$, $v = x$, $du = -\frac{1}{x^2} dx$. Tenga en cuenta que $1/v = 1/x = u$, así que con $K = 1$ se cumple con la condición. También, tenga en cuenta que $uv = K$.

Así que para el caso de integración por partes, cualquier integrando $u dv$ donde $u$ es un número constante de veces el recíproco de $v$ va a trabajar. Podemos tomar $u = x^2 + 1$, por lo que el$v = \frac{1}{x^2 + 1}$,$dv = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} dx$, por lo que la función a integrar es $-\frac{2x}{x^2 + 1}$. En el caso de integrar que con $u = x^2 + 1$$dv = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$, se puede obtener otra falacia de la forma que se muestra en el post.

De hecho, esto demuestra que la respuesta a la pregunta es, de hecho, sí: Sólo tiene que escribir la función ("times" $dx$) como producto $u dv$ donde $uv = K$. La condición de $uv = K$ implica $u'v + uv' = 0$ o $v' = -\frac{u'}{u} v = -\frac{u'}{u} \frac{K}{u} = -K\frac{u'}{u^2}$. Por lo tanto $uv' = u \frac{dv}{dx} = -K \frac{u'}{u}$. La configuración de este igual a una función arbitraria $f$ da $u(x) = Le^{\int -f(x)/K\ dx}$, $L$ otra constante arbitraria. Ahora usted tiene $u$ $dv$ para cualquier función que se desee y puede "probar" algo falso de ella.

Answer 4

respuesta de alexqwx es incorrecta. Brad es notationally confuso porque se pretende '$1$' es una constante distinto de cero cuando no lo es.

No hay real '$1$' después de la integración por partes. Es fácil ver si pretendes que hay límites de integración:

$$\int_a^b \frac1x dx =\int_a^b 1\cdot \frac1x dx=\left[x\frac1x\right]_a^b+\int_a^b x \frac1{x^2} dx = \left[1\right]_a^b + \int_a^b \frac1x dx$$

No importa qué límites escoge, $\left[1\right]_a^b = 0$. Tan sólo da integración por las piezas

$$\int \frac1x dx = \int \frac1x dx$$

No necesita preocuparse sobre si está bien restar Integrales indefinidas.

Answer 5

Lo que se demostró es que si $F$ es una primitiva de $x\mapsto\frac1x$ (en algún intervalo donde se define el último, en otras palabras que no contiene $~0$), también lo es $x\mapsto1+F(x)$. Esto es cierto, ya que es el derivado de $x\mapsto 1$ $x\mapsto 0$.