¿Por qué primera forma fundamental?

Question

Aquí es un extracto de las notas que estamos usando:

La primera forma fundamental dicta cómo se calcula productos de puntos de vectores tangente a la superficie, suponiendo que se expanden de acuerdo a la base $\frac{\partial q}{\partial u},\frac{\partial q}{\partial v}$.

En particular, vemos que aunque la métrica coeficientes dependen de nuestra parametrización, el producto escalar de a $\text{I} (X, Y )$ de dos vectores tangente sigue siendo el mismo si lo cambio los parámetros.

Supongo que la primera forma fundamental es en realidad un mapa de $T_pM \times T_pM\to \text{R}$, pero no entiendo lo que la primera parte está hablando. ¿Por qué necesitamos una matriz que nos diga cómo realizar productos de puntos? Quiero decir, supongamos que tenemos los vectores $<a,b,c>$$<d,e,f>$, acabamos de multiplicar término por término, ¿no es eso correcto? Hay un cálculo en las notas, mostrando que $\text{I}(X,Y)=X \cdot Y$, que incluso me hizo más confuso.

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\dd}{\partial}$Si usted tiene una superficie incrustado en $\Reals^{3}$, puede (como se nota) utilizar el "ambiente" de Euclidiano interior del producto para llevar a punto de los productos de vectores de tangentes. Sin embargo, esa leve exceso; con el fin de llevar a punto de los productos de vectores tangente a una superficie, todo lo que realmente necesita es la primera forma fundamental.

Si $$ E = \left\langle\frac{\dd q}{\dd u}, \frac{\dd q}{\dd u}\right\rangle,\quad F = \left\langle\frac{\dd q}{\dd u}, \frac{\dd q}{\dd v}\right\rangle,\quad G = \left\langle\frac{\dd q}{\dd v}, \frac{\dd q}{\dd v}\right\rangle, $$ y si $$ v = a_{1}\, \frac{\dd q}{\dd u} + a_{2}\, \frac{\dd q}{\dd v},\qquad w = b_{1}\, \frac{\dd q}{\dd u} + b_{2}\, \frac{\dd q}{\dd v}, $$ es decir, si $v = (a_{1}, a_{2})$ $w = (b_{1}, b_{2})$ con respecto a la coordenada base campos, a continuación, $$ \langle v, w\rangle = a_{1} b_{1} E + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) F + a_{2} b_{2} G. $$ Ese es el contenido del primer párrafo de su extracto. El segundo párrafo afirma que $\langle v, w\rangle$ es independiente de la elección de coordenadas locales. Este es, en cierto sentido "obvio" si usted sabe que tiene una superficie incrustado en $\Reals^{3}$, pero es sorprendente si se piensa en la primera forma fundamental como "extra" estructura impuesta sobre un conjunto abierto en $\Reals^{2}$, es decir, en una coordenada barrio.

Sorprendentemente, no hay no-trivial de "intrínseca" de la geometría de una superficie capturado por su primera forma fundamental, aunque la primera forma fundamental no únicamente determinan una incrustación de la superficie en $\Reals^{3}$.

Answer 2

Deje $\langle \cdot,\cdot \rangle_{\Bbb R^3}$ denota el producto escalar usual en $\Bbb R^3$. Recordar que una manera de ver la $T_{\bf p}M$ es como pares de $({\bf p},{\bf v})$ donde ${\bf v}$ es la velocidad de algunos curva en $M$. Definir: $${\rm I}_{\bf p} = \langle \cdot, \cdot\rangle_{\bf p}: T_{\bf p}M \times T_{\bf p}M \to \Bbb R, \qquad {\rm I}_{\bf p}({\bf v},{\bf w}) = \langle ({\bf p},{\bf v}),({\bf p},{\bf w})\rangle_{\bf p} := \langle {\bf v},{\bf w}\rangle_{\Bbb R^3}.$$

Una vez entendido esto, podemos colocar los pares y la mirada sólo en el ${\bf v}$${\bf w}$. El valor de $\langle \cdot, \cdot \rangle_{\Bbb R^3}$ sobre cualquier par de vectores no depende de la base de que está utilizando, de ahí que el mismo va para ${\rm I}_{\bf p}$. Por lo tanto, utilizamos la base para $T_{\bf p}M$ asociado a la parametrización de la $q: U \subset \Bbb R^2 \to M \subset \Bbb R^3$ tenemos en nuestras manos, que es: $$\frac{\partial q}{\partial u}(q^{-1}({\bf p}))\quad \text{ and } \quad\frac{\partial q}{\partial v}(q^{-1}({\bf p})).$$ Debido a que somos demasiado perezosos, vamos a dejar el punto de aplicación de $q^{-1}({\bf p})$, y mientras estamos en ello, bien podría abreviar los derivados por $q_u$$q_v$. Llame a: $$E = \langle q_u,q_u\rangle, \quad F = \langle q_u,q_v\rangle, \quad G = \langle q_v, q_v \rangle.$$ Entonces si ${\bf v} = a q_u + bq_v$, obtenemos: $$\langle {\bf v},{\bf v}\rangle = Ea^2+2Fab+Gb^2.$$ Tome otra parametrización $\overline{q} = \overline{q}(\overline{u},\overline{v})$, escribir ${\bf v} = \overline{a} \overline{q}_{\overline{u}} + \overline{b}\overline{q}_{\overline{v}}$ e intente comprobar que: $$Ea^2+2Fab+Gb^2=\overline{E}\overline{a}^2+2\overline{F}\overline{a}\overline{b}+\overline{G}\overline{b}^2.$$ Ver cómo el vedado y tienen llave ni rejas de objetos relacionados, utilizando el jacobiano de $q \circ \overline{q}^{-1}$${\bf p}$.