Composición de la serie de energía Formal es asociativa

Question

¿Cómo puedo demostrar que la composición de la serie de energía formal es asociativa?

He intentado probar el resultado directamente, pero las expresiones resultantes son muy difíciles de manejar. Actualmente, estoy tratando de hacer uso de la topología en $\mathbb{C}[[x]]$, pero absolutamente no puedo conseguirlo para trabajar.

Más precisamente, quiero probar eso si $g(0)=0$ y $h(0)=0$, entonces el $f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h$, donde $$f\circ g(x) :=\sum_{n=0}^\infty f_n (g(x))^n.$ $

Answer 1

Una serie de energía formal $g(x)$ tal que $g(0)=0$ le da un anillo continuo homomorfismo $g^*:K[[x]]\to K[[x]]$ únicamente definido por $x\mapsto g(x)$. De hecho, $g^*(f)=f\circ g$ (es claro si $f$ es un polinomio y se extiende por continuidad a la serie de potencia). $h^*(g^*(x))=h^*(g(x))=g(h(x))=(g\circ h)^*(x)$, Tenemos $h^*\circ g^*=(g\circ h)^*$. Evaluación de ambos lados en $f$ obtenemos $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$.