Rastros en separable simple $C^{\ast}$-álgebras

Question

¿Qué es un ejemplo de un separable, simple $C^{\ast}$-álgebra que admite dos Estados tracial diferentes?

EDICIÓN: Julien ha señalado una serie de vías para responder a esta pregunta. Si alguien tiene una copia electrónica del libro de Longo une con en el comentario de abajo, por favor enviar un resumen del argumento. Sería bueno tener acceso a una agradable construcción simple como se anuncia en el Resumen de ese documento.

Answer 1

Blackadar demostró [rastros simples AF C *-algebras. J. Funct. Anal. 38 (1980), Nº 2, 156-168] que cada metrizable Choquet simple se presenta como el espacio de la traza de un álgebra simple, AF.

Answer 2

Longo del ejemplo es el siguiente: se considera un C$^*$-sistema dinámico $(A,G,\alpha)$ $A$ unital, simple, y con la única traza $\tau$; y $G$ discretos abelian.

Señala que en esta situación $\tau$ $\alpha$- invariante (por la singularidad de la traza) y por lo tanto $\alpha$ se extiende a $\bar\alpha:G\to\mbox{Aut}(\pi_\tau(A)'')$ (yo no lo creo ¿por qué esto es cierto).

Y entonces él considera una condición adicional en la acción del grupo. Se requiere la existencia de un valor distinto de cero $t\in G$ tal que $\alpha_t$ no es interno, sino $\bar\alpha_t=v\cdot v^*$ donde $v\in\pi_\tau(A)''$ $\bar\alpha$- invariante unitaria.

Bajo esas condiciones, la prueba de que $A\rtimes_\alpha G$ es simple y tiene al menos dos trazas.

Como un ejemplo concreto, considera que $A=\bigotimes_{n=1}^\infty\,M_{2^n}(\mathbb C)$, $G=\mathbb Z_2$, y el elemento no trivial de $\mathbb Z_2$ dado por la conjugación por $\bigotimes_nu_n$ donde $u_n$ es la matriz diagonal en $M_{2^n}(\mathbb C)$ que ha diagonal $1,\ldots,1,-1$.