¿Si tengo tres puntos, hay una manera fácil de saber si son colineales?

Question

Puntos $(a,b)$, $(m,n)$ y $(x,y)$ son seleccionados al azar. ¿Cuál es la forma más rápida/fácil de determinar si son colineales? Al principio pensé que era cuestión de comparar pendientes pero eso parece no ser suficiente.

Answer 1

"Al principio pensé que era cuestión de comparar pendientes"... ¡y tenías razón!

Si los segmentos de recta AB y BC tienen la misma pendiente, entonces A, B, C son necesariamente colineales. Ten en cuenta que hay casos especiales relacionados con si B es el punto "medio" o no (en cuyo caso las pendientes seguirán siendo iguales), y uno relacionado con líneas verticales (donde alguna fórmula que uses para calcular la pendiente podría dividir entre 0).

Reuniendo todo esto, los puntos $(a, b)$, $(m, n)$ y $(x, y)$ son colineales si y solo si $$(n-b)(x-m) = (y-n)(m-a)$$ (viene de $\frac{n-b}{m-a} = \frac{y-n}{x-m}$, pero no se escribe en forma de fracción para evitar la división entre $0$).

Answer 2

El área es cero, en la fórmula $\det \pmatrix{1 &a &b\\ 1 &m &n\\ 1 &x &y}=0$

Answer 3

Esta es una explicación de la excelente idea de $\textbf{Ma Ming}$, en caso de que no estuviera clara.

Considere un triángulo con vértices en los puntos $(a,b)$, $(m,n)$ y $(x,y)$, y observe que el área $A$ del triángulo es cero si y solo si los puntos son colineales. Ahora, se puede demostrar que

$$A=\frac{1}{2}\left|\det\pmatrix{1&1&1\\a&m&x\\b&n&y}\right|=\frac{1}{2}\left|a(n−y)+m(y−b)+x(b−n)\right|.$$

Por lo tanto, solo tenemos que verificar si la expresión $a(n−y)+m(y−b)+x(b−n)$ es distinta de cero o no.

Answer 4

Otra forma es elegir dos de los tres puntos para construir un par de ecuaciones paramétricas para la recta en la que se encuentran, digamos,

$$X \ = \ a \ + \ (m - a) \cdot t \ , \ Y \ = \ b \ + \ (n - b) \cdot t \ , $$

con $ \ t \ $ siendo el parámetro. Para el tercer punto, $ \ (x, y) \ $ , encuentra el valor de un parámetro $ \ s \ $ que resuelve $ \ x \ = \ a \ + \ (m - a) \cdot s \ $ . Si el mismo valor $ \ s \ $ produce una ecuación para $ \ y \ = \ b \ + \ (n - b) \cdot s \ , $ entonces los tres puntos son colineales; de lo contrario... ¡no lo son!

Este enfoque puede extenderse sin mucha dificultad para tratar con la línea de referencia siendo horizontal o vertical (sin complicaciones como pendientes indefinidas).