Estoy tratando de entender la Veblen jerarquía, pero todavía me resulta confuso. El Feferman–Schütte ordinal, $\Gamma_0$, puede ser descrito como el conjunto de todos los ordinales que puede ser escrito como finito de expresiones, a partir de cero, utilizando sólo la Veblen y la jerarquía de la adición. El Veblen jerarquía comienza con la función de $\omega^\alpha$ y utiliza la recursividad para generar más y más funciones. Pero no estoy seguro de por qué empezamos con $f(\alpha)=\omega^\alpha$, o ¿por qué hemos de restringir la definición de $\Gamma_0$ a Veblen y la jerarquía de la adición. Podemos obtener recursiva ordinales mayor que $\Gamma_0$ si partimos de la jerarquía con algunos de los de mayor crecimiento de la función? Por ejemplo, podemos utilizar hyperoperators para definir $f(\alpha)=(\alpha\uparrow ^\alpha \alpha)^{(\alpha)}$ (donde el upperscript $(\alpha)$ $\alpha$- los tiempos de la composición), que es inmensamente grandes. También podríamos incluir esta nueva jerarquía más la adición y cualquier hyperoperator para definir el límite de $\Gamma_0$. Pero no me queda claro si hacerlo de esta forma, los resultados en el mismo $\Gamma_0$, o en una más grande (pero todavía predicativo?) uno.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto es sobre todo una más extendido en la versión de mi comentario. Como para un libro o documento publicado donde $\Gamma_0$ es cuidadosa y rigurosamente obtenido, probablemente el mejor que conozco es:
Wolfram Pohlers, Prueba De La Teoría. El Primer Paso en Impredicativity, 2008.
Sin embargo, la audiencia y los objetivos de Pohlers libro están bastante lejos (en mi opinión) de las ideas básicas detrás de las funciones normales de los números ordinales y fija los puntos de funcionamiento normal, lo que creo que no han tenido la suficiente exposición acerca de la matemática de la literatura. Por ejemplo, recoger cualquiera de las docenas de introducción de la teoría de conjuntos libros y muchos más libros relacionados (en reales de análisis, topología, etc.) en el que los números ordinales se discuten, y verás que casi idénticos en las discusiones de cómo los contables ordinales incluir $\epsilon_0$ y más allá (pero no el autor parece variar en este e indicar, aunque sea brevemente, algunas de las cosas interesantes que se encuentran en el "y más allá" reino), y si tienes que elegir cualquiera de las más avanzadas de libros y papeles en la teoría de conjuntos y en la prueba de la teoría, donde la gran contables ordinales se discuten, estás en un viaje relámpago en el que $\epsilon_0$ y $\Gamma_0$ apenas son mencionados como las bacterias en un portaobjetos de microscopio en la búsqueda de alcanzar los cuásares lejanos de cada vez más exóticos recursiva ordinal notaciones, que es secreto acamparon a una audiencia de unos pocos especialistas. Al parecer no existen media de tierra de las exposiciones de este tema.
Tal vez Una breve introducción a las Ordinal Anotaciones por Harold Simmons viene cerca de ser una media de tierra de la exposición.
Sin embargo, creo que mucho mejor es la siguiente, lo que no está escrito con aplicaciones de gran ordinales a prueba la teoría como su meta final. En cambio, el foco está en el paseo a través de los ordinales.
Juan Báez, de Esta Semana se Encuentra en la Física Matemática (Semana 236; 26 de julio de 2006)
También, buscar la diagonal de intersección. Creo que esta es la operación que lleva desde los ordinales definido a través de los $\alpha$'th fin de hyper-operación (aplicado a $\beta$) $\Gamma_{0}.$
Finalmente, a continuación son algunas de las cosas que he publicado en otros lugares que pueden ser de utilidad. Por cierto, nunca he seguido el tratamiento de los números ordinales empecé en el primer post de abajo, como terminé consiguiendo ocupado en el trabajo. Yo también empecé a pensar que no era una buena idea dedicar mucho tiempo a la preparación de ASCII exposiciones de las cosas que había planeado para escribir de manera más formal en Látex y distribuir de alguna manera (publicación, matemáticas arXiv sitio, o tal vez a tirar como yo lo hice con este).
Renfro, NÚMEROS ORDINALES #1, sci.matemáticas, 29 de octubre de 2006. [Última versión de este ensayo. Ver la discusión en el extremo relativo a ${\omega}^{\omega}$, al mismo tiempo, el ${\omega}^{\omega}$'th ordinal y el ${\omega}^{\omega}$'th límite ordinal.]
Renfro, Transfinito Aleph y Beth ordinal secuencias, sci.matemáticas, 23 de noviembre de 2003.
Renfro, puntos fijos con ordinal mapas, sci.de matemáticas, de 30 de noviembre de 2008. [Véase también el seguimiento en 2 de diciembre de 2008.]
