homología con soporte compacto

Question

En uno de los ejercicios en McDuff y Salamon, mencionan homología con compact es compatible. Sé cómo definir *co*homología con compact es compatible, pero no puedo imagen de la homología de la versión. ¿Cómo puedo decir que una cadena tiene soporte compacto? Si yo uso singular de las cadenas, no todos ellos tienen soporte compacto de todos modos?

Google no es una gran ayuda aquí, así que cualquier referencia realmente me ayudaría.

También, he añadido algunos conceptos básicos de la sub-preguntas que también me ayudará enormemente. Todo esto debe ser bastante simple, pero mi experiencia en la topología algebraica es débil y completamente me deslumbra!

1. McDuff-Salamon afirman que para abrir el anillo $(1/2 < r < 1)$ en el avión, el primer compacto de homología grupo es generado por el arco $\theta = 0$, $1/2 < r < 1$, que puedo entender con una mirada retrospectiva: este es el generador de la homología de rel. el límite y lo más probable es que habrá un isomorfismo entre el pacto y la relativa homologías, al igual que no hay uno entre el pacto y la relación de co-homologías.

2. También implícitamente el uso de un isomorfismo entre el pacto de homología y compacto cohomology en ciertas dimensiones. Debería yo sólo uso esta como la definición para el compacto de la homología? I. e. $H_{k, c} = (H^k_c)^\ast$?

Answer 1

Creo que lo que McDuff-Salamon llamada homología con soporte compacto es más comúnmente conocida como la homología de cadenas infinitas. Las cadenas son formales infinitas sumas de singular simplices que son localmente finito en el sentido de que cada subconjunto compacto cumple sólo un número finito de singular simplices. El límite se define en la forma habitual.

Tenga en cuenta que la costumbre singular homología son compactas apoyo: los ciclos han compacto de imágenes. Por el contrario, la costumbre singular cohomology no tienen soporte compacto como un cocycle puede tomar valor distinto de cero en una secuencia de ciclos que se escurren hasta el infinito. Hay un libro de Massey, "Homología y cohomology de la teoría. Un enfoque basado en Alexander-Spanier cochains", donde estos temas son discutidos en términos muy generales de configuración.

Answer 2

Para elaborar Ekedahl comentario:

Será más fácil describir las cosas para un espacio triangular, para que yo pueda trabajar con simplicial cadenas y cochains. (Pero mi espacio podría ser infinitamente nidos; por ejemplo, pensar de Escher famosa imagen de la infinitamente triangular plano hiperbólico. También voy a asumir que mi triangulación es localmente finito.) Como se observa, las cadenas regulares tienen soporte compacto. Esta es la razón por la que usted puede emparejar con cochains (que han arbitraria de apoyo). Borel--Moore cadenas pueden tener ilimitado de apoyo. Estos pueden ser emparejados con no arbitraria cochains, pero sólo con la compacta que se soportan.

Así Borel--Moore homología es la "homología analógico" de forma compacta compatible cohomology. (Pero las condiciones de apoyo son a la inversa, ya que la homología es dual a cohomology.)

A menudo se puede interpretar Borel--Moore homología relativa de homología. E. g. si $M$ es un compacto de colector de con límite de $\partial M$, entonces el Borel--Moore homología de $M\setminus \partial M$ (el interior de $M$) es la misma que la homología de los par $(M,\partial M)$.

Answer 3

Ver http://eom.springer.de/H/h047870.htm

Answer 4

Para cualquier variedad (compacto o no), cohomología compacto soportado es Poincare dual a homología (ordinario), mediante la nivelación con la clase fundamental, que es una cadena infinita (es decir, la suma de todos los simplices superior en una triangulación). Asimismo, cohomología (ordinario) es dual a homología con localmente finitas cadenas infinitas de Poincare. En notación, $ H^{n-k}_{comp}(X)\cong H_{k}(X)$ y $H^{n-k}(X)\cong H_{k, inf}(X) $.