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Existencia de un polinomio

¿Hace su existe un % polinomio no lineal $P(x)$tal que para cada número racional $y$ allí existe un número racional $x$ tal que $y=P(x)$?

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user8268 Puntos 13913

No. Primero de todo, los coeficientes de $P$ debe ser racional: tomar $n+1$ diferentes racional $x$s '( $n=\deg P$ ) con rational $y=P(x)$ le dará $n+1$ independiente de ecuaciones lineales de la $n+1$ coeficientes de $P$, las ecuaciones han racional de los coeficientes, por lo que la única solución (los coeficientes de $P$) es racional. O simplemente calcular los coeficientes de $P$ el uso de la interpolación de Lagrange de la fórmula.

Ahora, permítanme utilizar un arma nuclear: el polinomio en dos variables $Q(x,y)=P(x)-y$ es, sin duda irreductible, así que por Hilbert irreductibilidad teorema hay un $a\in\mathbb Q$ tal que $P(x)-a$ es irreducible en a $\mathbb Q[x]$, en particular, que no tiene racional de la raíz (si no es de grado $1$). Por lo tanto $a$ no puede ser representada como $P(x)$ $x$ racional.

edit: ya que el uso de armas nucleares podría estar en contra de los tratados internacionales, permítanme esbozar una prueba directa. $P$ deben ser de grado impar ($P(x)$ no puede ser arbitrariamente grande, tanto positivos como negativos). Para $y$ lo suficientemente grande como ahora hay un único real $X(y)$ s.t. $P(X(y))=y$.

Podemos suponer que el $P$ tiene coeficientes enteros (si no, se multiplican $P$ por el común denominador de los coeficientes). Esto implica que si $y\in \mathbb Z$ e si $b\in\mathbb Q$ tal que $P(b)=y$ $b\in\frac{1}{c_n}\mathbb Z$ donde $c_n$ es la principal coeficiente de $P$.

Así que supongo que ahora, como usted, que $X(y)$ es racional para cada $y\in\mathbb Z$ lo suficientemente grande, es decir, que $X(y)\in \frac{1}{c_n}\mathbb Z$. Dado que el $X(y)$ es estrictamente pero poco a poco el aumento de (la derivada de $X$ (con respecto al $y$) llega a cero como $y\to\infty$ si $n>1$), obtenemos $y\in\mathbb Z$ lo suficientemente grande (más grande que antes) $0<X(y+1)-X(y)<1/c_n$, lo cual es una contradicción con $X(y),X(y+1)\in \frac{1}{c_n}\mathbb Z$.

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