Me estoy empezando a sentir más confianza en mi comprensión de Ramanujan la prueba de Bertrand postulado. Espero que no estoy recibiendo exceso de confianza.
En particular, Ramanujan hace la siguiente comparación en el paso (8):
$$\ln\Gamma(x) - 2\ln\Gamma(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) \le \ln(\lfloor{x}\rfloor!) - 2\ln(\lfloor\frac{x}{2}\rfloor!)$$
Se me ocurre que esto puede ser generalizado a:
$$\ln\Gamma(\frac{x}{b_1}) - \ln\Gamma(\frac{x}{b_2} + \frac{1}{2}) - \ln\Gamma(\frac{x}{b_3} + \frac{1}{2})\le \ln(\lfloor\frac{x}{b_1}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{b_2}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{b_3}\rfloor!)$$
cuando:
$$\frac{x}{b_1} = \frac{x}{b_2} + \frac{x}{b_3}$$
Yo realmente apreciaría si mi argumento podría ser revisado y alguien podría llamar de cualquier error en la respuesta o en los comentarios. :-)
Aquí está el argumento para esta generalización:
Vamos a:
$$\{\frac{x}{b_i}\} = \frac{x}{b_i} - \lfloor\frac{x}{b_i}\rfloor$$
donde:
$$0 \le \{\frac{x}{b_i}\} < 1$$
Desde:
$$\{\frac{x}{b_1}\} + \lfloor\frac{x}{b_1}\rfloor = \{\frac{x}{b_2}\} + \lfloor\frac{x}{b_2}\rfloor + \{\frac{x}{b_3}\} + \lfloor\frac{x}{b_3}\rfloor$$
Tenemos:
$$\{\frac{x}{b_1}\} \le \{\frac{x}{b_2}\} + \{\frac{x}{b_3}\}$$
Así que:
$$-\{\frac{x}{b_1}\} \ge -\{\frac{x}{b_2}\} + -\{\frac{x}{b_3}\}$$
$$2-\{\frac{x}{b_1}\} \ge 1-\{\frac{x}{b_2}\} + 1-\{\frac{x}{b_3}\}$$
$$1-\{\frac{x}{b_1}\} \ge 1-\{\frac{x}{b_2}\} - \frac{1}{2} + 1-\{\frac{x}{b_3} \} - \frac{1}{2}$$
$$\lfloor\frac{x}{b_1}\rfloor + 1 - \frac{x}{b_1} \ge (\lfloor\frac{x}{b_2}\rfloor + 1 - \frac{x}{b_2} - \frac{1}{2}) + (\lfloor\frac{x}{b_3}\rfloor + 1 - \frac{x}{b_3} - \frac{1}{2})$$
$$\lfloor\frac{x}{b_1}\rfloor + 1 \ge (\lfloor\frac{x}{b_2}\rfloor + 1) + (\lfloor\frac{x}{b_3}\rfloor + 1)$$
Si $\Delta{t_1} \ge \Delta{t_2} + \Delta{t_3}$$x_1 + \Delta{t_1} \ge x_2 + \Delta{t_2} \ge x_3 + \Delta{t_3} > 0$,
El uso de la lógica en la respuesta aquí:
$$\frac{\Gamma(x_1 + \Delta{t_1})}{\Gamma(x_1)} \ge \frac{\Gamma(x_2 + \Delta{t_2})}{\Gamma(x_2)}\frac{\Gamma(x_3 + \Delta{t_3})}{\Gamma(x_3)}$$
Vamos a:
$x_1 = \frac{x}{b_1}$, $\Delta{t_1} = 1 - \{\frac{x}{b_1}\}$,
$x_2 = \frac{x}{b_2}+\frac{1}{2}$, $\Delta{t_2} = \frac{1}{2} - \{\frac{x}{b_2}\}$
$x_3 = \frac{x}{b_3}+\frac{1}{2}$, $\Delta{t_3} = \frac{1}{2} - \{\frac{x}{b_3}\}$
donde $\frac{x}{b_2} \ge \frac{x}{b_3}$ (de lo Contrario, cambie los dos valores).
Entonces:
$$\frac{\Gamma(\lfloor\frac{x}{b_1}\rfloor+1)}{\Gamma(\frac{x}{b_1})} \ge \frac{\Gamma(\lfloor\frac{x}{b_2}\rfloor+1)}{\Gamma(\frac{x}{b_2} + \frac{1}{2})}\frac{\Gamma(\lfloor\frac{x}{b_3}\rfloor+1)}{\Gamma(\frac{x}{b_3}+\frac{1}{2})}$$
Así que, a continuación, de la siguiente manera:
$$\ln\Gamma(\lfloor\frac{x}{b_1}\rfloor + 1) - \ln\Gamma(\frac{x}{b_1}) \ge \ln\Gamma(\lfloor\frac{x}{b_2}\rfloor + 1) - \ln\Gamma(\frac{x}{b_2} + \frac{1}{2}) + \ln\Gamma(\lfloor\frac{x}{b_3}\rfloor + 1) - \ln\Gamma(\frac{x}{b_3} + \frac{1}{2})$$
Y hemos demostrado:
$$\ln\Gamma(\frac{x}{b_1}) - \ln\Gamma(\frac{x}{b_2}+\frac{1}{2}) - \ln\Gamma(\frac{x }{b_3}+\frac{1}{2}) \le \ln(\lfloor\frac{x}{b_1}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{b_2}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{b_3}\rfloor!)$$
Por favor, hágamelo saber si usted ve algún error.
Gracias,
-Larry
Edit: Basándose en la revisión de Zander respuesta, creo que este argumento puede ser salvado. La revisión requiere dos argumentos separados:
- uno de: $\{\frac{x}{b_2}\} + \{\frac{x}{b_3}\} \ge 1$
- otro de: $\{\frac{x}{b_2}\} + \{\frac{x}{b_3}\} < 1$
El enlace para el primer argumento es aquí. El enlace para el segundo argumento es el de aquí.
