¿Por qué la ecuación polinómica $1 + x + x^2 + \cdots + x^n = S$ tiene a lo más dos soluciones en $x$?

Question

Américo Tavares señaló en su respuesta a esta pregunta que hallar la razón de una progresión geométrica, sólo desde el conocimiento de la suma de su primera $n+1$ términos de $S = 1+x+x^2+\cdots+x^n$ equivale a la solución de un polinomio de grado $n$. Esto me sugirió que podría ser de hasta el $n$ soluciones reales de $x$ para una determinada suma, pero no pude encontrar ninguna. De hecho, resultó que el siguiente hecho es cierto:

Para$n \ge 1$$S \in \mathbb{R}$, la ecuación polinómica $x^n + x^{n-1} + \cdots + x + 1 = S$ tiene más de dos soluciones reales.

Un corolario es que si $n$ es impar, no es exactamente una solución real. Yo sólo era capaz de demostrar esto con una más bien rebuscada geométricas argumento basado en la forma de la gráfica de $y = x^{n+1}$. Hay una forma simple, directa y lo ideal sería que, intuitivo) prueba de este hecho?

Answer 1

Entre las dos anteriores respuestas - una muy específicas y muy general, es la siguiente:

Teorema de Rolle establece que entre dos ceros de la función se encuentra un cero de la derivada. Así, cada vez que diferenciar el número de bienes raíces puede no disminuir en más de 1. Esta realidad se mantiene en la multiplicidad así - si una raíz de multiplicidad k, entonces es de multiplicidad (k-1) para la derivada, y todavía hay raíces de la derivada estrictamente entre consecutivos distintas raíces de la función original. Por lo $x^{n+1}−Sx+S−1$ tiene más de una raíz más de $(n+1)x^n-S$ y en la mayoría de los dos más de $n(n+1)x^{n-1}$, de modo que no más de tres total (contadas con multiplicidad). Uno de esos es $x=1$, por lo que no hay más que dos por el $1+x+\ldots+x^n=S$. QED.

Answer 2

Las raíces también son raíces de

$x^{n+1} - Sx + S - 1 = 0$

de la cual obtenemos multiplicando la ecuación por $x-1$.

Este polinomio ($x^{n+1} - Sx + S-1$), a medida que nos movemos de $x = -\infty$ $x = \infty$es

• Monótonamente creciente, y por lo tanto tiene al menos una raíz real.

• Monótonamente decreciente y, a continuación, monótonamente creciente y por lo tanto puede tener a lo sumo dos raíces reales.

• Monótonamente creciente, luego disminuye y luego aumenta de nuevo (solo sucede cuando $n$ es incluso). En cuyo caso no son en la mayoría de las tres raíces reales, una de las cuales es $1$. Así, por $S \ne n+1$, la ecuación original no tiene más que dos soluciones. Si $S=n+1$ $n$ es par, entonces los puntos de inflexión se $-1$ $1$ y el valor del polinomio en $-1$ es positivo. Así que la única raíces se $1$ y una raíz que es $< -1$.

Esto se puede ver observando sus derivados, que es una función creciente de extraño $n$, e incluso para $n$, es positivo, entonces posiblemente negativa (dependiendo $S$) y, a continuación, en positivo de nuevo, a medida que nos movemos de$x = -\infty$$x = \infty$.

Answer 3

Un poderoso algorítmica manera de manejar estos problemas es emplear Sturm del Teorema. Si usted trabaja fuera de los detalles verás que es bastante sencillo para este ejemplo. Esto a su vez es un caso especial de la CAD (cilíndrico algebraica de descomposición) algoritmo - una implementación efectiva de Tarski de la eliminación de cuantificadores de primer orden de la teoría de los reales. Las ideas generales de estos métodos han demostrado ser útiles en la solución de una variedad de problemas. Bien vale la pena el esfuerzo de aprender los métodos generales en lugar de ad-hoc técnicas.

Por Rahul la petición, aquí hay más detalles de la aplicación de Sturm del algoritmo para el ejemplo a mano. Queremos demostrar que $\rm\ \ g(x) =\ x^n +\:\cdots\: + x^2 + x + 1 - s\ \ $ tiene más de dos raíces reales distintas. Considere la posibilidad de $\rm\ f(x) = (x-1)\ g(x) =\ x^{n+1}-1-s\ (x-1)\:.\ $ Desde $\rm\ \ f\:' = (n+1)\ x^n - s\ \ $ tenemos $\rm\ f\ mod\ f\:'\: =\ f\: - \: x/(n+1)\ f\:'\ =\ a\ x + b\ $ algunos $\rm\:a,\:b\in \mathbb R\:$. De modo que la distancia euclídea resto de la secuencia en el cálculo de $\rm\ gcd(f,\:f\:')\ $ tiene una longitud en la mayoría de las $4$, viz. $\rm\ f,\ f\:',\ a\ x + b,\ c\ $. Por lo tanto, tiene en la mayoría de las $3$ signo cambios en cualquier momento, a fin de Sturm del teorema implica que $\rm\ f(x)\ $ tiene más de $3$ distintas raíces reales. Así que si $\rm\: x = 1\:$ no es un múltiplo de la raíz de $\rm \:f(x)\:$ $\rm\ g(x) = f(x)/(x-1)\ $ tiene más de $2$ distintas raíces reales. Otra cosa $\rm\ x-1\:|\:gcd(f,\:f\:')\ \Rightarrow\ x-1\:|\:c\ \Rightarrow\ c=0\:$. Así que en este caso el resto de la secuencia de longitud en la mayoría de las $3$, por lo que en la mayoría de los $2$ cambios de signo, por lo $\rm\:f\ $ tiene más de $2$ distintas raíces reales, por lo tanto, lo mismo para $\rm\:g\:$.

A pesar del teorema de Sturm es un poco más de trabajo de aquí que el teorema de Rolle, tiene la ventaja añadida de que permite calcular el número exacto de las raíces en cualquier intervalo (frente a los límites usando el teorema de Rolle).