Libre de grupos en algunas clases?

Question

Entiendo que el único libre de grupos que son abelian son 1 y Z, por lo tanto, una diferencia entre "gratis abelian grupos' y 'abelian libre de los grupos.
Por favor alguien puede decirme lo que son la solución libre de grupos?
¿Cómo puedo construir 'libre solucionable grupos?
Lo que se sabe acerca de los grupos en otras clases de grupos como policíclicos, nilpotent ...?

Gracias.

Answer 1

No hay "libre solucionable grupo", pero no son "gratis solucionable grupos de longitud $n$" para cualquier $n$. También hay libre nilpotent grupos de la clase $n$, libre de Burnside para grupos de exponente $k$; todos los grupos que son abelian-por-exponente $k$; y más.

Más precisamente: una variedad de grupos es una clase de grupos que es cerrado bajo tomando isomorphisms, subgrupos, cocientes, y arbitrario productos directos (es decir, si $G\in\mathcal{C}$$K\cong G$,$K\in\mathcal{C}$; si $G\in\mathcal{C}$$H\lt G$,$H\in \mathcal{C}$; si $G\in\mathcal{C}$$N\triangleleft G$,$G/N\in\mathcal{C}$; y si $\{G_i\}$ es arbitraria la familia de los grupos con $G_i\in\mathcal{C}$ por cada $i$,$\prod G_i\in\mathcal{C}$). Ejemplos de variedades incluyen "todos los abelian grupos", "todos los grupos de solvencia de longitud en la mayoría de las $n$"; "todos los nilpotent grupos de clase en la mayoría de las $c$"; "todos los grupos de tal forma que cada elemento es de exponente $k$"; y más.

Si $\mathcal{C}$ es una variedad de grupos, y $G$ es cualquier grupo, entonces no hay la menor subgrupo normal $\mathcal{C}(G)$ $G$ tal que $G/\mathcal{C}(G)\in\mathcal{C}$ (este subgrupo es normal, de hecho, no sólo normal, sino completamente invariante). Por ejemplo, cuando se $\mathcal{C}$ es la clase de todos los abelian grupos, $\mathcal{C}(G)$ no es otro que el colector de un subgrupo de $G$. La prueba de la existencia de $\mathcal{C}(G)$: Vamos a $\{N_i\}_{i\in I}$ ser la colección de todos los subgrupos normales de $G$ tal que $G/N_i\in\mathcal{C}$; la clase es no vacío, ya que $G/G$ es siempre en cualquier variedad. Luego de considerar las evidentes mapa de$G$$\prod G/N_i$; el producto debe estar en $\mathcal{C}$ (es un producto de grupos en $\mathcal{C}$), por lo que la imagen de $G$$\mathcal{C}$; el núcleo de este mapa es el grupo $\mathcal{C}(G)$.

Así que si $X$ es cualquier conjunto, y $F(X)$ es el grupo en $X$, entonces no es un último subgrupo $\mathcal{C}(F(X))$ tal que $F(X)/\mathcal{C}(F(X))\in\mathcal{C}$. El cociente resultante se puede ver que tienen la misma característica universal relativo a los grupos en $\mathcal{C}$ $F(X)$ , en relación a todos los grupos. Así que podemos decir que este cociente es el "relativamente libre de $\mathcal{C}$-grupo en $X$." Llamamos a que el grupo original, $F(X)$ "completamente gratis de grupo en $X$" para distinguirla.

Añadido: por si acaso, recuerda que si $\mathcal{D}$ es una categoría en la que los objetos son conjuntos y las flechas son mapas de conjuntos, entonces dado un conjunto de $X$, el libre $\mathcal{D}$-objeto en $X$ es un objeto $F(X)$$\mathcal{D}$, junto con un conjunto teórico de inclusión $i\colon X\to F(X)$, de tal manera que para cada objeto $D\in\mathcal{D}$ y cada conjunto teórico mapa de $f\colon X\to D$ existe un único $\mathcal{D}$-morfismos $\varphi\colon F(X)\to D$ tal que $f=\varphi\circ i$. Para el "absolutamente libre de grupos", la categoría es la categoría de todos los grupos; por "libre abelian grupos", la categoría es la categoría de abelian grupos. Para "relativamente libre de $\mathcal{C}$-grupo", la categoría es la categoría de todos los grupos en $\mathcal{C}$.

La razón por la que no hay "libre solucionable grupo" es que la clase de todos los grupos resolubles es no una variedad: no es cerrado bajo arbitraria directa de productos. Pero si usted pone un límite en la solvencia de longitud, a continuación, te hacen disfrutar de una variedad, y usted puede construir el correspondiente "libre solucionable grupo de la longitud de la $n$".

Además, usted puede tomar el pro-$\mathcal{C}$ enfoque que Matt E menciona.

Si usted está interesado en aprender más acerca de las variedades, estos se encuentran en la intersección de Álgebra Universal y Teoría de grupos. Yo recomendaría Hanna Neumann libro las Variedades de los Grupos (un poco viejo, pero sigue siendo el estándar de referencia); también George Bergman del Álgebra Universal notas (disponible aquí).

Answer 2

Creo que podría haber obligado a los derivados de longitud para conseguir, precisamente, la noción de que usted desee.

Notación: Para cualquier grupo de $G$, vamos a $G^{(i)}$ el valor del $i$th iterada derivados subgrupo de $G$, lo $G^{(0)} = G$$G^{(i+1)} = [G^{(i)},G^{(i)}]$). Un grupo es solucionable, si $G^{(i)}$ es trivial para algunos $i$, y se ha derivado de la longitud de la $d$ si $G^{(d)}$ es trivial, pero $G^{(i)}$ no es trivial para $i < d$.

Ahora vamos a $F(X)$ ser el grupo libre sobre un conjunto no vacío $X$ de los generadores, y considerar la posibilidad de $F(X)/F(X)^{(d)}$. Por un lado, este grupo es claramente resueltos de derivadas de longitud $d$. Por otro lado, si $G$ es cualquier solucionable grupo de derivados de la longitud de $\leq d$, para luego dar un mapa de conjuntos de $X \to G$ será el equivalente a dar un mapa de grupos de $F(X)/F(X)^{(d)} \to G$. Por lo tanto $F(X)/F(X)^{(d)}$ es el objeto en $X$ en la categoría de solucionable grupos de derivada de la longitud de $\leq d$.

Uno puede hacer una construcción similar, si consideramos por ejemplo, la categoría de nilpotent grupos de nilpotency clase $\leq c$ (es decir, cuya central de la serie es de longitud $\leq c$).

Si usted realmente desea considerar todos los solucionable grupos a la vez, entonces usted puede considerar el límite proyectivo $$\lim_{\leftarrow} F(X)/F(X)^{(d)},$$ the so-called pro-solvable completion of $F(X)$. Similarly, in the nilpotent setting, you can form the pro-nilpotent completion of $F(X)$. Pero ahora el "objeto" no está, literalmente, en la categoría que desea, sino que es un límite proyectivo de los grupos de esa categoría. (Esto es a menudo bien, aunque; es usted de la búsqueda para "pro-nilpotent finalización", verás que pro-nilpotent terminaciones de libre grupos subido mucho, por ejemplo, en aritmética geometría.)