métrica de caracterización para la conexión

Question

Hay una métrica caracterización de la conexión? Estoy buscando algo como la siguiente métrica caracterización de compacidad: Un topológico metrizable espacio es compacto si, y sólo si, cada métrica de la inducción de la topología es completo y totalmente acotado.

Así que, ¿hay alguna propiedad $P$ de una métrica que un topológico metrizable espacio está conectado si, y sólo si, cada métrica de la inducción de la topología de la propiedad $P$.

Si no $P$ existe, hay una propiedad $P$ de manera tal que cada meteric espacio satisfacción de que está conectado, y un topológico metrizable espacio está conectado siempre hay alguna métrica de la inducción de la topología de y que satisface $P$.

Answer 1

Consideremos primero una diferente caracterización de compacidad: un espacio metrizable es compacto si el rango de cada métrica es compacto. La necesidad se sigue de la continuidad de la métrica, y la suficiencia puede obtenerse a partir del hecho de que todos los no-compacto metrizable espacio admite una desenfrenada métrica.

Esto sugiere la declaración análoga: un espacio metrizable es conectado iff el rango de cada métrica está conectado. Esto resulta ser cierto, y aun más simple.

Necesidad de nuevo se sigue de la continuidad de la métrica. Para mostrar la suficiencia, deje $(X, \rho)$ ser desconectado de espacio métrico y deje $A, B$ ser una separación de $X$. Podemos definir un topológicamente equivalente métrico por $$ \sigma(x, y) = \casos{ \min\{ 1, \rho(x, y) \} & si $x,y \in A$ o $x, y \in B$,\\ 2 & lo contrario. } $$ Claramente el rango de $\sigma$ es no convexo, ya que contiene el 0 y el 2, pero no 3/2, por lo tanto está desconectado.

Corolario: un espacio metrizable es un continuo en el fib el rango de cada métrica es un cerrado delimitado intervalo.

P. S.: Hay una pregunta que usted no pide, pero que es sugerido por su ejemplo: hay una propiedad $P$ métricas que la existencia de una métrica con la propiedad $P$ implica que la conexión y la conexión implica que todos los las métricas tienen la propiedad $P$. De forma equivalente: hay una propiedad $P$ de manera tal que un espacio métrico está conectado iff su métrica tiene la propiedad $P$. No tengo una respuesta para eso.

Answer 2

No es para espacios compactos:

Un espacio métrico compacto $X$ está conectado si y sólo si para todos los $a,b\in X$ y todos los $\varepsilon>0$ existen puntos de $a=p_0, p_1, \ldots, p_k=b$ tal que $d(p_i,p_{i+1})<\varepsilon$.

Y no es difícil probar esto. Es difícil para mí imaginar que hay algunos generales de la caracterización de los ejemplos de espacios conectados como el Knaster–Kuratowski ventilador.