Resuelva $x^y \, = \, y^x$

Question

Posible duplicado:
$x^y = y^x$ para números enteros $x$ y $y$

Obtuve una pregunta sobre cómo resolver $\large x^y = y^x$ . Las limitaciones dadas fueron que $x$ y $y$ eran enteros positivos. Por un poco de error y ensayo vemos rápidamente que $x=2$ y $y=4$ es una solución.

• Mi pregunta es: ¿Cómo demostrar que $(2\,,\,4)$ ¿es la única solución positiva no trivial de la ecuación?

Ahora bien, mi planteamiento inicial era el siguiente: Tenemos

$$\large x^y = y^x$$

La solución trivial es obviamente cuando $y=x$ así que centrémonos en cuándo $y \neq x$ . Hagamos una afirmación más general. En primer lugar tomo el logaritmo de ambos lados

$$\large y \log x = x \log y $$

Dividamos por x y \log x (Suponemos ahora $x\neq 0$ y $x\neq 1$ ya que 0 no es un número positivo, y 1 nos da una solución trivial)

$$\large \frac{y}{x} = \frac{\log y }{\log x}$$

Para que estos lados sean iguales, debemos eliminar los logaritmos del lado derecho, esto se logra si $y$ es de la forma $x^a$ . Esto da

$$\large \frac{x^a}{x} = \frac{\log \left(x^a\right) }{\log(x)}$$

$$\large x^{a-1} = a$$

Así que finalmente obtenemos que $ \displaystyle \large x=\sqrt[ a-1]{a}$ y $\displaystyle \large y = \sqrt[a-1]{a^a}$

Ajuste ahora $a=2$ nos da $x = 2$ y $y=4$ como desee.

Mi pregunta es, ¿cómo podemos demostrar que $x=2$ y $y=4$ ¿es la única solución entera? Mi idea era demostrar que $ \displaystyle \large \sqrt[ a-1]{a}$ y $\displaystyle \large \sqrt[a-1]{a^a}$ son ambas irracionales cuando a>2, pero no he podido demostrarlo.

Cualquier ayuda es muy apreciada, saludos =)

Answer 1

La función $u:x\mapsto(\log x)/x$ aumenta en $[1,\mathrm e]$ de $u(1)=0$ à $u(\mathrm e)=1/\mathrm e$ y disminuyendo en $[\mathrm e,+\infty)$ de $u(\mathrm e)=1/\mathrm e$ à $0$ . Por lo tanto, si $u(x)=u(y)$ con $y\gt x\geqslant 1$ entonces $y\gt \mathrm e\gt x\gt1$ . Desde $\mathrm e\lt3$ esto implica que $1\lt x\lt3$ . Si además $x$ es un número entero, entonces $x=2$ . La raíz única de la ecuación $u(y)=(\log2)/2$ tal que $y\gt\mathrm e$ es $y=4$ . Por lo tanto $(x,y)=(2,4)$ es la única solución.

Answer 2

Otro enfoque para este tipo de problemas:

$$x^y=y^x$$

Dividiendo ambos lados de las ecuaciones por $x^x$ Tendremos:

$$x^{y-x}=(\frac{y}{x})^x$$

Ahora bien, lo que se puede decir de $\frac{y}{x}$ ?

Intenta continuar.

Answer 3

Me sonaba de algo. La ecuación $a^b = b^a$ puede escribirse como $$ \frac{\log a}{a} = \frac{\log b}{b} $$ Si dibujas cuidadosamente la curva $y= \log x$ en el $x-y$ plano, la cantidad $ \frac{\log a}{a}$ es la pendiente de la recta que pasa por el origen y el punto $(a, \log a).$ Por tanto, la ecuación $ \frac{\log a}{a} = \frac{\log b}{b} $ dice que las líneas desde el origen hasta $(a, \log a)$ y a $(b, \log b)$ tienen la misma pendiente, por lo tanto son la misma recta. Es decir, los tres puntos son colineales.

Por lo tanto, una solución gráfica consiste en trazar líneas que pasen por el origen, con positivo pendiente, que intersecan la curva $y= \log x.$ Se verá con bastante rapidez que un punto de intersección, llámese $a,$ tiene $1 < a < e.$ Como quieras $a$ un número entero, la única opción es $a=2.$

La parte de cálculo es la siguiente: la recta que pasa por el origen con pendiente $\frac{1}{e}$ es tangente a la curva $y= \log x$ en el punto $(e, \log e \; = \; 1).$ Para intersecar la curva dos veces, necesitamos una pendiente un poco menor que esa, y el primer punto de intersección estará un poco a la izquierda de $e.$